[논문 리뷰] Enlargements of filtrations and applications

José Manuel Corcuera, Arturo Valdivia|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 27.

Credit Risk and Financial Regulations참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 확률과정에서 필터의 초기 및 점진적 확장을 위한 일반적인 프레임워크를 개발하며, F-임의의 마린게일이 확장된 필터 G 하에서 마린게일로 남아있는 조건을 설정한다. Doob-Meyer 분해를 명시적으로 제공하고, 신용 리스크 및 내부자 거래에 이 те오리의 응용을 제시하며, 디폴트 시간과 내부자 정보가 일반적인 랜덤 변수와 노이즈 있는 관측치를 통해 모델링될 수 있음을 보여주며, 시장 마이크로구조 모델에서의 균형 존재성을 이끌어낸다.

ABSTRACT

In this paper we review some old and new results about the enlargement of filtrations problem, as well as their applications to credit risk and insider trading problems. The enlargement of filtrations problem consists in the study of conditions under which a semimartingale remains a semimartingale when the filtration is enlarged, and, in such a case, how to find the Doob-Meyer decomposition. Filtrations may be enlarged in different ways. In this paper we consider initial and progressive filtration enlargements made by random variables and processes. Keywords: Credit Risk, Insider Trading, Enlargement of Filtrations

연구 동기 및 목표

• 초기 또는 점진적 필터 확장 하에서 F-마린게일이 G-마린게일로 남아있는 데 필요한 충분한 조건을 설정하는 것.
• 확장된 필터 G에서의 명시적 Doob-Meyer 분해를 도출하며, 이를 원래의 F-필터와 새로운 정보 H로 표현하는 것.
• 내부자들이 랜덤 변수 X에 대한 정확한 지식이 아닌 노이즈가 섞이거나 부분적인 정보를 가질 때의 내부자 거래 시나리오를 모델링하는 것.
• 디폴트 시간을 랜덤 변수로 모델링하고 자산 가격과 시장 균형에 미치는 영향을 분석함으로써 이 이론을 신용 리스크에 적용하는 것.
• 내부자와 시장 메이커가 비대칭 정보 하에서 상호작용하는 시장 마이크로구조 모델에서 균형의 존재를 보여주는 것.

제안 방법

• 일반적인 F-가측 랜덤 변수 L의 조건부 분포에 대한 정규성 조건인 조건 A를 도입하여, Ft에 대해 L의 조건부 분포가 σ-유한 측도 ηt에 의해 지배됨을 보장한다.
• Bichteler-Dellacherie-Mokobodzki의 마린게일 특성화를 사용하여, 조건 A 하에서 임의의 F-마린게일이 G-마린게일임을 증명한다.
• L의 Ft에 대한 조건부 분포와 그 밀도를 이용하여 보정자( compensator )를 표현함으로써 G-Doob-Meyer 분해를 유도한다.
• 내용이 X와 Yt에 대한 함수인 Lt = G(X, Yt)로 정의된 프로세스에 의한 점진적 확장을 적용하며, 여기서 X는 F_T-가측이고 Y는 F_T와 독립이므로 노이즈 있는 내부자 정보를 모델링한다.
• 균형 주문 흐름 R_t를 기술하는 확률미분방정식(SDE)에 대한 약한 해를 구성하며, R_t가 자신의 필터에서 브라운 운동임을 보여준다.
• 디폴트 시간 τ가 시장 메이커의 필터 하에서 정지시간임을 보이며, 이는 주문 흐름의 필터와 시장 메이커의 필터가 일치함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 F-가측 랜덤 변수 L에 의한 필터의 초기 확장 하에서 F-마린게일이 G-마린게일로 남아있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 새로운 정보가 랜덤 변수 L로 주어질 때, 확장된 필터 G에서 마린게일의 Doob-Meyer 분해는 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 필터 확장 이론은 내부자가 미래의 랜덤 변수에 대해 정확한 지식이 아닌 노이즈가 섞인 정보를 받는 내부자 거래 모델에 적용될 수 있는가?
• RQ4 균형 시장 모델에서 디폴트 시간 τ가 시장 메이커의 필터 하에서 정지시간으로 남아있도록 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 내부자 거래가 있는 시장에서 균형 주문 흐름 프로세스 R_t는 기본 프로세스 Z_t와 같은 분포를 가지며, 자신의 필터 하에서 브라운 운동인가? 그리고 그와 같은가?

주요 결과

• 조건 A 하에서, 임의의 F-마린게일은 G-마린게일로 남아있으며, 이는 확장된 필터에서 마린게일 미적분학의 타당성을 보장한다.
• G에서의 Doob-Meyer 분해는 Ft에 조건부된 L의 분포와 ηt에 대한 밀도를 이용하여 명시적으로 도출된다.
• 노이즈 있는 정보 Lt = G(X, Yt)를 가진 내부자 거래 모델에서, 내부자의 필터는 브라운 운동 B와 프로세스 Lt에 의해 생성되며, 잘 정의된 정보 구조를 이룬다.
• 균형 총 주문 프로세스 R_t는 τ와 현재 주문 수준에 의존하는 드리프트 항을 포함하는 특정한 SDE를 만족하며, 이는 시장 정산을 보장한다.
• 균형 주문 흐름 (R_t^*)은 자신의 필터 하에서 브라운 운동이며, τ는 시장 메이커의 필터 하에서 정지시간이므로, R_t와 시장 메이커의 필터가 일치함을 의미한다.
• 기본 프로세스 Z_t와 균형 주문 흐름 R_t^*는 동일한 분포를 가지며, τ = inf{t : R_t^* = -1} 이므로 디폴트 시간은 주문 흐름에서 관측 가능하다.