[논문 리뷰] Enriched algebraic theories and monads for a system of arities

Rory B. B. Lucyshyn-Wright|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 대칭 모나드 닫힘 범주 $\mathscr{V}$ 내에서 아리티의 체계 $\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 를 사용하여 풍부화된 대수 이론의 일반적 프레임워크를 개발한다. $\mathscr{J}$-이론의 개념을 도입하고, $\mathscr{J}$ 가 엘루테리크일 경우(즉, 특정 칸 확장에 대한 자유 코완전화로 $\mathscr{V}$ 를 표현할 수 있을 때), $\mathscr{T}$-대수의 범주가 존재하며 $\mathscr{V}$ 위에서 모나딕이 되며, 완비성 또는 코완비성 가정 없이도 성립함을 증명한다. 주요 기여는 $\mathscr{J}$-이론을 프로파일로의 2범주에서의 모나드로 특성화하고, $\mathscr{V}$-모나드 중 특정 코한계 조건을 만족하는 것과 동치임을 보이는 것이다.

ABSTRACT

Under a minimum of assumptions, we develop in generality the basic theory of universal algebra in a symmetric monoidal closed category $\mathcal{V}$ with respect to a specified system of arities $j:\mathcal{J} \hookrightarrow \mathcal{V}$. Lawvere's notion of algebraic theory generalizes to this context, resulting in the notion of single-sorted $\mathcal{V}$-enriched $\mathcal{J}$-cotensor theory, or $\mathcal{J}$-theory for short. For suitable choices of $\mathcal{V}$ and $\mathcal{J}$, such $\mathcal{J}$-theories include the enriched algebraic theories of Borceux and Day, the enriched Lawvere theories of Power, the equational theories of Linton's 1965 work, and the $\mathcal{V}$-theories of Dubuc, which are recovered by taking $\mathcal{J} = \mathcal{V}$ and correspond to arbitrary $\mathcal{V}$-monads on $\mathcal{V}$. We identify a modest condition on $j$ that entails that the $\mathcal{V}$-category of $\mathcal{T}$-algebras exists and is monadic over $\mathcal{V}$ for every $\mathcal{J}$-theory $\mathcal{T}$, even when $\mathcal{T}$ is not small and $\mathcal{V}$ is neither complete nor cocomplete. We show that $j$ satisfies this condition if and only if $j$ presents $\mathcal{V}$ as a free cocompletion of $\mathcal{J}$ with respect to the weights for left Kan extensions along $j$, and so we call such systems of arities eleutheric. We show that $\mathcal{J}$-theories for an eleutheric system may be equivalently described as (i) monads in a certain one-object bicategory of profunctors on $\mathcal{J}$, and (ii) $\mathcal{V}$-monads on $\mathcal{V}$ satisfying a certain condition. We prove a characterization theorem for the categories of algebras of $\mathcal{J}$-theories, considered as $\mathcal{V}$-categories $\mathcal{A}$ equipped with a specified $\mathcal{V}$-functor $\mathcal{A} ightarrow \mathcal{V}$.

연구 동기 및 목표

• 대칭 모나드 닫힘 범주 $\mathscr{V}$ 내에서 아리티의 체계 $\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 를 사용하여 로버트의 대수 이론을 풍부화된 설정으로 일반화한다.
• 범주 $\mathscr{V}$ 가 완비성 또는 코완비성이 없더라도 $\mathscr{T}$-대수의 범주가 존재하고 $\mathscr{V}$ 위에서 모나딕이 되는 조건을 규명한다.
• 엘루테리크 체계를 정의하고, $\mathscr{V}$ 가 $\mathscr{J}$ 를 중심으로 왼쪽 칸 확장에 대한 가중치에 대한 자유 코완전화임을 의미한다.
• $\mathscr{J}$-이론이 $\mathscr{J}$ 위의 프로파일로의 2범주에서의 모나드와 동치임을 보이며, $\mathscr{V}$-모나드 중 특정 코한계 조건을 만족하는 것과도 동치임을 보인다.
• $\mathscr{T}$-대수의 $\mathscr{V}$-범주를 $\mathscr{V}$ 로 향하는 특정 $\mathscr{V}$-함수를 지닌 $\mathscr{V}$-범주로 특성화한다.

제안 방법

• 단일 객체 $S$ 의 $J$-코텐서를 갖는 $\mathscr{V}$-범주로 $\mathscr{J}$-이론의 개념을 도입하여, 로버트 및 풍부화된 로버트 이론을 일반화한다.
• $\mathscr{T}$-대수를 $\mathscr{J}$ 에 속하는 $J$ 에 대해 $J$-코텐서를 보존하는 $\mathscr{V}$-함수로 정의하여, 대수 이론 위에서의 대수 개념을 일반화한다.
• $j: \mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 에 대해 '엘루테리크' 라고 불리는 조건을 규명한다. 이는 $\mathscr{V}$ 가 $\mathscr{J}$ 를 중심으로 왼쪽 칸 확장에 대한 가중치에 대해 $\Phi^+$-코완전화임을 의미하며, 이 조건이 $\mathscr{T}$-대수의 존재성과 모나디시티를 보장한다.
• $\mathscr{J}$-이론이 $\mathscr{J}$ 위의 $\mathscr{V}$-프로파일로의 2범주에서의 모나드와 대응됨을 증명하고, 이는 2범주적 대응을 통해 이루어진다.
• $\mathscr{J}$-이론이 $\Phi^+$-코한계를 보존하는 $\mathscr{V}$-모나드와 동치임을 증명하여, 이를 모나드 이론적 기반과 연결한다.
• $\Phi$-표현 가능한 객체와 $\Phi^+$-코한계 이론을 사용하여 $\mathscr{V}_{\Phi}$ 가 $\Phi^{+-}$-코한계, $\Phi$-코한계 및 재접합에 대해 닫혀 있음을 보이며, 엘루테리크 조건의 구성에 필수적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 범주 $\mathscr{V}$ 가 완비성 또는 코완비성이 없더라도, 아리티 체계 $\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 가 어떤 조건을 만족할 경우 $\mathscr{T}$-대수의 범주가 존재하고 $\mathscr{V}$ 위에서 모나딕이 되는가?
• RQ2 아리티 체계 $\mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 가 엘루테리크일 조건은 무엇인가? 즉, $\mathscr{V}$ 가 $\mathscr{J}$ 를 중심으로 왼쪽 칸 확장에 대한 가중치에 대해 자유 $\Phi^+$-코완전화인가?
• RQ3 $\mathscr{J}$-이론이 $\mathscr{J}$ 위의 프로파일로의 2범주에서의 모나드로 어떻게 동치로 표현될 수 있는가?
• RQ4 $\mathscr{J}$-이론과 $\Phi^+$-코한계를 보존하는 $\mathscr{V}$-모나드 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 $\mathscr{T}$-대수의 범주는 어떤 $\mathscr{V}$-함수 $\mathscr{A} \to \mathscr{V}$ 를 지닌 $\mathscr{V}$-범주로 어떻게 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• $\mathscr{T}$-대수의 범주가 존재하고 $\mathscr{V}$ 위에서 모나딕이 되는 것은, 아리티 체계 $j: \mathscr{J} \hookrightarrow \mathscr{V}$ 가 엘루테리크일 때이고, 그 경우에만 성립한다.
• $j$ 가 엘루테리크일 조건은 $\mathscr{V}$ 가 $\mathscr{J}$ 를 중심으로 $j$ 를 따라 왼쪽 칸 확장에 대한 가중치에 대해 자유 $\Phi^+$-코완전화임을 의미하며, 여기서 $\Phi^+$ 는 $\Phi$-평탄한 가중치의 집합이다.
• 모든 $\mathscr{J}$-이론은 $\mathscr{J}$ 위의 $\mathscr{V}$-프로파일로의 2범주에서의 모나드와 대응되며, 이는 2범주적 동치를 이룬다.
• 모든 $\mathscr{J}$-이론은 $\mathscr{V}$ 위의 $\Phi^+$-코한계를 보존하는 $\mathscr{V}$-모나드와도 대응되며, 이는 모나드 기반의 특성화를 제공한다.
• $\mathscr{T}$-대수의 $\mathscr{V}$-범주는 $\mathscr{V}$ 로 향하는 특정 $\mathscr{V}$-함수를 지닌 $\mathscr{V}$-범주 $\mathscr{A}$ 의 전체 부분$\mathscr{V}$-범주와 동치이다. 이는 특정 보편 성질을 만족한다.
• $\underline{\mathscr{V}}$ 내의 $\Phi$-표현 가능한 객체의 전체 부분$\mathscr{V}$-범주 $\mathscr{V}_{\Phi}$ 는 $\Phi^{+-}$-코한계, $\Phi$-코한계 및 재접합에 대해 닫혀 있으며, 이는 엘루테리크 조건을 검증하는 데 필수적이다.