[논문 리뷰] Entanglement-assisted quantum codes from Galois LCD codes

Xiusheng Liu, Hualu Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위에서 $k$-Galois LCD MDS 코드를 사용하여 네 가지 새로운 MDS 엔트로피 보조 양자 오류 수정 코드(EAQECCs) 클래스를 구축한다. 코드 매개변수와 상수순환 구조에 대한 대수적 조건을 활용하여, 계산적으로 비용이 많이 드는 검색을 피하고 최대 엔트로피를 갖는 최적 매개변수를 가진 EAQECCs를 위한 필요한 ebits $c$에 대한 명시적 공식을 유도한다.

ABSTRACT

Entanglement-assisted quantum error-correcting codes (EAQECCs) make use of preexisting entanglement between the sender and receiver to boost the rate of transmission. It is possible to construct an EAQECC from any classical linear code, unlike standard quantum error-correcting codes, which can only be constructed from dual-containing codes. However, the parameter of ebits $c$ is usually calculated by computer search. In this paper, we construct four classes of MDS entanglement-assisted quantum error-correcting codes (MDS EAQECCs) based on $k$-Galois LCD MDS codes for some certain code lengths, where the parameter of ebits $c$ can be easily generated algebraically and not by computational search. Moreover, the constructed four classes of EAQECCs are also maximal-entanglement EAQECCs.

연구 동기 및 목표

• 더 높은 효율성과 매개변수 제어를 갖는 새로운 MDS 엔트로피 보조 양자 코드를 구축하기 위해.
• 이전의 EAQECC 구축 방식에서 ebits 수 $c$를 구하기 위해 컴퓨터 검색에 의존하는 한계를 극복하기 위해.
• $k$-Galois LCD 코드를 사용하여 ebits 매개변수 $c$를 체계적으로 대수적으로 생성하는 방법을 수립하기 위해.
• 구축된 EAQECCs가 최대 엔트로피를 달성하여 전송 속도를 최대화함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 클래식한 LCD 및 허미션 안티-대칭 코드를 일반화하는 $k$-Galois LCD 코드를 기초로 사용한다.
• $\lambda$가 원시 $r$-번째 단위근인 $\mathbb{F}_q$ 위의 $\lambda$-상수순환 코드 이론을 적용한다.
• $k$-Galois LCD 구조를 보장하기 위해 $r \mid (q-1)$ 및 $r \nmid (1 + p^{e-k})$와 같은 대수적 조건을 도입한다.
• 최소 거리 $d$를 보장하기 위해 상수순환 코드에 대해 BCH 경계를 적용한다.
• 엔트로피 보조 양자 코드 구축 프레임워크를 사용하여 고전적 $k$-Galois LCD MDS 코드로부터 $[[n,l,d;c]]_q$ 매개변수를 도출한다.
• 제안 3.3을 적용하여 고전적 $k$-Galois LCD MDS 코드를 $c$가 대수적으로 유도된 MDS EAQECCs로 매핑한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $k$-Galois LCD 코드를 체계적으로 사용하여 대수적으로 결정된 ebits 수를 갖는 MDS EAQECCs를 구축할 수 있는가?
• RQ2 ebits 매개변수 $c$를 컴퓨터 검색에 의존하지 않고 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ3 코드 길이 $n$, 차원 $l$, 최소 거리 $d$에 대한 어떤 대수적 조건이 결과 EAQECCs의 최대 엔트로피를 보장하는가?
• RQ4 특정 종류의 상수순환 코드 중에서 $k$-Galois 대칭성 하에 최적 매개변수를 갖는 MDS EAQECCs를 생성하는 가족은 존재하는가?
• RQ5 이 구축 방법은 $e \geq 2$ 인 짝수 및 홀수 소수 거듭제곱 $q = p^e$ 를 모두 포함하도록 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 매개변수 $[[n,l,n-l+1;n-l]]_q$ 를 갖는 네 가지 새로운 MDS EAQECCs 클래스가 $n \leq q+1$ 인 경우에 구축되었으며, $c = n-l$ 는 대수적으로 결정된다.
• 두 번째 클래스는 $n = (q-1)/r$, $r \mid (q-1)$, $r \nmid (1 + p^{e-k})$, $2 \leq d \leq n$ 조건 하에 $[[n,n+1-d,d;d-1]]_q$ 코드를 생성하며, $c = d-1$ 는 대수적으로 유도된다.
• $n = 2l$, $2l+1$, 또는 $2l+2$ 인 경우, $l$ 이 $p^e - 1$ 을 나누고 $p^k + 1$ 을 나누지 않는 조건 하에 $[[2l,l,l+1;l]]_q$, $[[2l+1,l,l+2;l+1]]_q$, $[[2l+2,l,l+3;l+2]]_q$ 코드가 유도된다.
• $p \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우, $1 \leq l \leq (p-5)/4$ 를 만족하는 $[[ (p-1)/2, (p-1)/2 - 2l, 2l+1; 2l ]]_q$ EAQECCs 가 구축되며, $p \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우 $1 \leq l \leq (p-3)/4$ 를 만족하는 $[[ (p-1)/2, (p-1)/2 - 2l + 1, 2l; 2l - 1 ]]_q$ 코드가 얻어진다.
• 모든 구축된 EAQECCs 는 최대 엔트로피 코드이며, 이는 주어진 $n$ 과 $d$ 에 대해 $c$ 가 가능한 최대값에 도달함을 의미하여 전송 효율성을 향상시킨다.
• 이 방법은 $c$ 를 계산적으로 검색하는 대신, $q = p^e$, $k$, $r$ 에 대한 코드 구조와 체 이론적 조건에서 대수적으로 도출한다.