[논문 리뷰] Entanglement-assisted quantum MDS codes from constacyclic codes with large minimum distance

Liangdong Lü, Wenping Ma외 4명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $q$-진 엔트랑글먼트 보조 양자 MDS (EAQMDS) 코드를 구성하기 위해 비정규 코드의 정의 집합에 대한 분해 방법을 제안한다. $\mathbb{F}_{q^2}$ 위에서의 고전적 비정규 MDS 코드를 활용하고, 최소 1~4개의 사전 공유 최대 얽힘 상태만을 사용함으로써, 기존의 양자 MDS 코드보다 더 큰 최소 거리를 가지는 EAQMDS 코드를 얻는다. 이는 일부 경우에서 최소 거리가 $3q-1$를 초월하는 경우도 포함되며, 대부분의 코드는 매개변수 공간에서 새로 발견된다.

ABSTRACT

The entanglement-assisted (EA) formalism allows arbitrary classical linear codes to transform into entanglement-assisted quantum error correcting codes (EAQECCs) by using pre-shared entanglement between the sender and the receiver. In this work, we propose a decomposition of the defining set of constacyclic codes. Using this method, we construct four classes of $q$-ary entanglement-assisted quantum MDS (EAQMDS) codes based on classical constacyclic MDS codes by exploiting less pre-shared maximally entangled states. We show that a class of $q$-ary EAQMDS have minimum distance upper limit greater than $3q-1$. Some of them have much larger minimum distance than the known quantum MDS (QMDS) codes of the same length. Most of these $q$-ary EAQMDS codes are new in the sense that their parameters are not covered by the codes available in the literature.

연구 동기 및 목표

• 개선된 매개변수를 가진 새로운 엔트랑글먼트 보조 양자 MDS (EAQMDS) 코드 가족을 구성하기.
• EAQECC 구축 과정에서 요구되는 사전 공유 최대 얽힘 상태 수(엔티비트 수)를 줄이기.
• 길이 $n \leq q^2+1$ 인 경우, 기존의 $q+1$ 한계를 초월하여 알려진 양자 MDS 코드의 최소 거리를 연장하기.
• 비정규 코드의 정의 집합에 대한 분해 프레임워크를 제공하여 EAQMDS 코드의 체계적 구성 가능하게 하기.
• 구성된 EAQMDS 코드가 기존 문헌에서 다루지 않은 매개변수를 가지므로, 새로운 코드임을 입증하기.

제안 방법

• 비정규 코드의 정의 집합에 대한 분해를 제안하여, 이전의 순환 코드 연구를 $\mathbb{F}_{q^2}$ 위의 비정규 코드로 확장한다.
• EA-양자 싱귤러리티 경계를 적용하여 구성된 코드가 MDS임을 보장하며, 이는 $n + c - k \geq 2(d-1)$ 를 요구한다.
• EA 보정 기반 형식을 적용: 고전적 코드 $\mathcal{C}$ 가 행렬 $H$ 를 갖는 경우, EAQECC 는 매개변수 $[[n, 2k-n+c, d; c]]_q$ 를 가지며, 여기서 $c = \text{rank}(HH^\dagger)$ 이다.
• 정의 집합 내 순환 코셋과 기울어진 대칭 쌍을 분석하여 필요한 엔티비트 수 $c$ 를 결정한다.
• 길이 $n = q^2+1$, $n = (q^2+1)/10$, 및 $n = (q^2-1)/h$ ($h \in \{3,5,7\}$) 인 비정규 코드를 사용하여 네 가지 클래스의 EAQMDS 코드를 구성한다.
• 정의 집합의 구조와 순환 코셋 내 원소 수를 분석하여 최소 거리 $d$ 에 대한 경계를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규 코드의 정의 집합에 대한 분해가 더 큰 최소 거리를 가지는 새로운 EAQMDS 코드의 구성 가능성을 제공할 수 있는가?
• RQ2 최소 1 또는 4개의 사전 공유 엔티비트만을 사용하여, 최소 거리가 $3q-1$ 를 초월하는 EAQMDS 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ3 같은 길이와 체 크기에서 기존 표준 QMDS 코드의 최소 거리를 초월하는가?
• RQ4 제안된 EAQMDS 코드가 기존 문헌에서 다루지 않은 매개변수를 가지므로, 새로운 코드인가?
• RQ5 길이 $n = q^2+1$ 인 $q$-진 EAQMDS 코드에서 도달 가능한 최대 최소 거리는 얼마인가?

주요 결과

• 매개변수 $[[q^2+1, q^2-2d+7, d; 4]]_q$ 를 가진 새로운 $q$-진 EAQMDS 코드는 짝수 $d$ 에 대해 범위 $q+3 \leq d \leq 3q-1$ 내에서 최소 거리 상한이 $3q-1$ 를 초월한다.
• 만일 $q \equiv 3 \pmod{10}$ 이면, 코드 $[[\frac{q^2+1}{10}, \frac{q^2+1}{10}-2d+3, d; 1]]_q$ 는 오직 한 개의 엔티비트만으로 $q = 10m+3$ 인 경우 짝수 최소 거리까지 $6m+2$ 까지 도달한다.
• 만일 $q \equiv 7 \pmod{10}$ 이면, 코드 $[[\frac{q^2+1}{10}, \frac{q^2+1}{10}-2d+3, d; 1]]_q$ 는 오직 한 개의 엔티비트만으로 $q = 10m+7$ 인 경우 짝수 최소 거리까지 $6m+4$ 까지 도달한다.
• 만일 $h \in \{3,5,7\}$ 이고 $h \mid (q+1)$ 이면, 코드 $[[\frac{q^2-1}{h}, \frac{q^2-1}{h}-2d+3, d; 1]]_q$ 는 최소 거리 $d$ 가 범위 $\frac{q+1}{h}+1 \leq d \leq \frac{(h+3)(q+1)}{2h}-1$ 내에 있어, 기존 표준 QMDS 코드의 거리보다 초월한다.
• 모든 구성된 EAQMDS 코드는 기존 문헌에서 다루지 않은 매개변수를 가지므로 새로운 코드이며, 특히 길이, 거리, 엔트랑글먼트 비용 측면에서 새로 발견된다.