[논문 리뷰] Entanglement Entropy, Chemical Potential, Current Source, and Wilson Loop

Bom Soo Kim|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 04.

Quantum many-body systems참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 2차원 디랙 페르미온의 토러스에서 배경 화학적 포텐셜, 전류 소스, 윌슨 루프를 고려하여, $\bbZ_n$ 오르비폭드 정점 연산자의 상관 함수를 사용해 얽힘 및 레니 엔트로피를 해석적으로 계산한다. 주요 결과는 얽힘 엔트로피가 이산적인 윌슨 루프 값 $w = 2p - 1$에서 위상론적 상전이를 보이며, 에너지 준위 정렬에 따라 비단조적이고 비선형적인 행동을 보이며, 큰 반경 근사에서 $\beta$-의존성 매개변수에 영향을 받지 않는다는 것이다.

ABSTRACT

We construct and analytically compute entanglement and the Rényi entropies of Dirac fermions on a 2 dimensional torus in the presence of background chemical potential, current source and Wilson loop, by employing correlation functions of the electromagnetic vertex operators of $\mathbb{Z}_n$ orbifold theory. The entropies reveal numerous novelties. They probe the energy levels of compact fermions through the chemical potential, demonstrate interference phenomena with the current source being `beat frequency,' and experience topological phase transitions by dialing the Wilson loop, in the low temperature limit. In the large radius limit, they depend only on the Wilson loop via topological transitions, which are tightly linked to conformal dimension of the electromagnetic operators.

연구 동기 및 목표

• 외부 게이지 장과 위상론적 배경 하에서 2차원 디랙 페르미온의 얽힘 및 레니 엔트로피를 계산하기 위한 일반적인 해석적 프레임워크를 수립하는 것.
• 저온 및 큰 반경 근사에서 화학적 포텐셜, 전류 소스, 윌슨 루프가 얽힘 구조에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 전자기 정점 연산자의 초순수 차원이 얽힘 엔트로피의 위상론적 상전이를 결정하는 데서 수행하는 역할를 명확히 하는 것.
• 이전 결과에서의 모순을 해결하기 위해, 엔트로피가 화학적 포텐셜과 전류 소스에 비트리비할 의존성을 보이며, 이는 이전의 독립성 주장과 정면으로 대비된다.
• 무한대 및 큰 시스템에서의 위상론적 윌슨 루프에 의한 레니 및 얽힘 엔트로피의 의존성을 일반화하여, 이전의 위상론적 불변성 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 레플리카 기법과 $\bbZ_n$ 오르비폭드 이론에서의 전자기 정점 연산자 $\sigma_{w,k}$ 의 상관 함수를 사용하여 레니 엔트로피를 계산한다.
• 등각(field) 이론 기법을 사용하여 얽힘 엔트로피를 자카비 제타 함수 $\vartheta_1$ 와 디드크 에타 함수 $\eta(\tau)$ 를 통해 표현한다.
• 레니 엔트로피를 $S_{w,n}^0 = D_{w,n} \log\left| \frac{2\pi\eta(\tau)^3}{\vartheta_1(\ell_t/(2\pi L) \mid \tau)} \right|^2$ 로 유도하며, 여기서 $D_{w,n}$ 는 윌슨 루프 및 위상론적 전이 효과를 캡슐화한다.
• 화학적 포텐셜 $\mu$ 와 전류 소스 $J$ 를 열적 추적에 포함시켜 $\cosh(l\beta\mu)/\sinh(l\beta/2)$ 인자들을 도입함으로써 스핀 구조에 의존하는 엔트로피 $S_{w,n}^{\mu J}$ 를 도입한다.
• UV 발산이 없는 위상론적 및 게이지 의존적 기여를 분리하기 위해 상호정보량 $I_n(A,B) = S_n(A) + S_n(B) - S_n(A\cup B)$ 을 계산한다.
• 모듈러 매개변수 $\alpha = 2\pi\tau_1$ 를 통해 상전이를 분석하며, $w$-의존성 $\alpha_{w,k}$ 값이 $w = (2p-1)\pi/n$ 에서 $D_{w,n}$ 에 단계적 변화를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저온 근사에서 2차원 디랙 페르미온의 토러스에서 화학적 포텐셜과 전류 소스는 얽힘 엔트로피에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 윌슨 루프는 얽힘 엔트로피의 위상론적 상전이를 유도하는 데 어떤 역할를 하는가? 이는 정점 연산자의 초순수 차원과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 이전 결과에서 독립성으로 주장되었지만, 왜 얽힘 엔트로피가 화학적 포텐셜에 비트리비한 의존성을 보이며, 이는 어떻게 무한대 시스템 근사와 조화를 이룰 수 있는가?
• RQ4 큰 반경 근사에서 엔트로피의 화학적 포텐셜, 전류 소스, 윌슨 루프에 대한 의존성은 어떻게 영향을 받는가? 이는 무한대 시스템에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 상호정보량과 레니 엔트로피는 게이지 장 및 위상론적 매개변수에 대해 동일한 기능적 의존성을 얼마나 공유하는가?

주요 결과

• 얽힘 엔트로피는 화학적 포텐셜 $\mu$ 에 대해 비트리비한 의존성을 보이며, $\mu$ 가 디랙 페르미온의 에너지 준위와 정렬될 경우 유한한 기여를 한다. 이는 이전 결과에서의 독립성 주장과 정면으로 배치된다.
• 레니 엔트로피는 전류 소스 $J$ 에 대해 주기적 행동을 보이며, 모듈러 매개변수 $\alpha = 2\pi\tau_1$ 를 변화시킬 때 '비트 주파수' 역할를 하여 얽힘에서 간섭 무늬를 유도한다.
• 정수 $p$ 에 대해 이산적인 윌슨 루프 값 $w = 2p - 1$ 에서 위상론적 상전이가 발생하며, 각 전이 범위 내에서 $2p-1 \leq w < 2p+1$ 에서 얽힘 엔트로피는 단계적으로 증가하고 비단조적으로 행동한다.
• 큰 반경 근사에서 엔트로피는 $D_{w,n}$ 를 통해 윌슨 루프 $w$ 에만 의존하며, $\mu$ 와 $J$ 의 의존성은 $\mathcal{O}(\ell_t/(2\pi L))^2$ 의 순서로 억제되어 무한대 시스템에서 간격 엔트로피가 $\mu$ 에 독립적이라는 주장을 지지한다.
• 스핀 구조에 의존하는 엔트로피 $S_{w,n}^{\mu J}$ 는 $w$-의존성 항 $p \cos(\ell_t l(w - 2p\pi)/(2\pi L))$ 에서 선형적 의존성을 보이며, $w$ 가 증가함에 따라 엔트로피가 단계적으로 증가한다.
• 상호정보량은 엔트로피와 동일한 기능적 의존성을 $\mu$, $J$, $w$ 에 대해 공유하며, 반주기적 페르미온의 경우 간격 간 거리에 영향을 받지 않아 위상론적 강건성을 나타낸다.