[논문 리뷰] Entanglement Entropy for Descendent Local Operators in 2D CFTs

Bin Chen, Wu-zhong Guo외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 05.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 25인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 2차원 유리적 보존 대칭 장 이론(CFT)에서 국소적 후손 연산자에 대한 Rényi 및 얽힘 엔트로피를 조사하며, 주연산자에 대해 $\mathcal{L}^{(-)}\bar{\mathcal{L}}^{(-)}$ 연산자가 작용하는 후손의 경우, 엔트로피 증가가 주연산자의 로그 양자 차원과 정확히 일치함을 보여준다. 더 일반적인 후손, 즉 혼합 바이레아르 회로 생성자들을 포함하는 경우, 추가적인 얽힘 보정항이 발생하며, 섭동적 변형은 국소적 자극을 초과하여 엔트로피에 기여한다.

ABSTRACT

We mainly study the Rényi entropy and entanglement entropy of the states locally excited by the descendent operators in two dimensional conformal field theories (CFTs). In rational CFTs, we prove that the increase of entanglement entropy and Rényi entropy for a class of descendent operators, which are generated by $\cal{L}^{(-)}\bar{\cal{L}}^{(-)}$ onto the primary operator, always coincide with the logarithmic of quantum dimension of the corresponding primary operator. That means the Rényi entropy and entanglement entropy for these descendent operators are the same as the ones of their corresponding primary operator. For 2D rational CFTs with a boundary, we confirm that the Rényi entropy always coincides with the logarithmic of quantum dimension of the primary operator during some periods of the evolution. Furthermore, we consider more general descendent operators generated by $\sum_{} d_{\{n_i\}\{n_j\}}(\prod_{i} L_{-n_i}\prod_{j}{\bar L}_{-n_j})$ on the primary operator. For these operators, the entanglement entropy and Rényi entropy get additional corrections, as the mixing of holomorphic and anti-holomorphic Virasoro generators enhance the entanglement. Finally, we employ perturbative CFT techniques to evaluate the Rényi entropy of the excited operators in deformed CFT. The Rényi and entanglement entropies are increased, and get contributions not only from local excited operators but also from global deformation of the theory.

연구 동기 및 목표

• 이전의 2차원 CFT에서 주연산자에 국한된 얽힘 엔트로피 연구를 후손 국소 연산자로 확장하기 위해.
• 특히 힐버트 및 반대편 힐버트 바이레아르 생성자를 모두 포함하는 후손 연산자의 구조가 얽힘 엔트로피에 어떻게 영향을 미치는지 이해하기 위해.
• 경계 CFT(BCFT)에서 후손 자극이 있는 경우 Rényi 및 얽힘 엔트로피의 행동을 분석하기 위해.
• 국소적 자극과 전반적 변형의 병합 효과가 섭동 CFT에서 Rényi 엔트로피에 어떻게 작용하는지 조사하기 위해.

제안 방법

• 복제 기법을 사용하여 $ S_n^{(n)} = \frac{1}{1-n}\log\operatorname{Tr}(\rho_A^n) $를 통해 Rényi 엔트로피를 계산하고, von Neumann 엔트로피를 얻기 위해 $ n \to 1 $로의 해석적 계속을 적용한다.
• 좌표 변화에 따른 상관 함수 변환을 위해 연산자 곱 전개(OPEs) 및 등각 매핑 기법을 포함한 등각 장 이론 기법을 적용한다.
• 간단한 후손 상태에 대한 Rényi 엔트로피를 명시적으로 계산하여, 그 결과가 양자 차원 로그와 일치함을 검증한다.
• 일반 후손 연산자 $ \prod L_{-n_i} \prod \bar{L}_{-n_j} O $에 대한 등각 변환 법칙을 유도하며, 스트레스 텐서 후손을 포함한다.
• 등각 대칭을 유지하는 경계 조건을 사용하여 경계 CFT를 분석하고, Rényi 엔트로피의 시간 진화를 계산한다.
• 변형된 CFT에서 Rényi 엔트로피를 섭동적으로 평가하며, 국소적 자극과 전반적 변형의 기여를 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 유리적 CFT에서 $ \mathcal{L}^{(-)}\bar{\mathcal{L}}^{(-)} $에 의해 생성된 후손 연산자의 Rényi 및 얽힘 엔트로피는 그에 해당하는 주연산자의 것과 일치하는가?
• RQ2 혼합된 힐버트 및 반대편 힐버트 바이레아르 후손은 주연산자의 양자 차원을 초월하여 얽힘 엔트로피에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 경계 CFT에서, 시간 진화가 진행되더라도 후손 상태의 Rényi 엔트로피는 여전히 주연산자의 로그 양자 차원과 동일한 최대값에 도달하는가?
• RQ4 다양한 $ L_{-n} $ 및 $ \bar{L}_{-n} $ 생성자를 포함하는 일반적인 후손 연산자에 대해 추가 보정항이 어떻게 구조화되어 있는가?
• RQ5 전반적 변형은 국소적 자극 항을 초월하여 어떻게 로컬로 자극된 후손 상태의 Rényi 엔트로피에 기여하는가?

주요 결과

• 주연산자에 대해 $ \mathcal{L}^{(-)}\bar{\mathcal{L}}^{(-)} $가 작용하는 후손의 경우, Rényi 및 얽힘 엔트로피 증가는 주연산자의 로그 양자 차원인 $ \log d_p $ 와 정확히 일치한다.
• 경계가 있는 2차원 유리적 CFT에서 후손 상태의 Rényi 엔트로피는 여전히 $ \log d_p $ 와 동일한 최대값에 도달하지만, 경계의 영향으로 시간 진화가 수정된다.
• 다양한 $ L_{-n_i} $ 및 $ \bar{L}_{-n_j} $ 생성자를 포함하는 일반 후손 연산자에 대해서는 힐버트 및 반대편 힐버트 섹터 간의 혼합으로 인해 추가적인 얽힘 보정항이 발생한다.
• 섭동 분석 결과, 변형된 CFT에서 Rényi 엔트로피는 국소적 자극 기여와 전반적 변형 기여의 합으로 표현되며, 후자는 변형 해밀토니안에서 기인한다.
• 최소 모델에서의 명시적 계산을 통해 단순한 후손에 대해 $ \Delta S^{(2)} $ 가 $ \log d_p $ 와 일치함을 확인하여 일반 결과를 지지한다.
• 좌표 변화에 따른 후손 연산자의 등각 변환 법칙이 체계적으로 유도되었으며, 이는 복제 기법 프레임워크 내에서 상관 함수를 계산하는 데 기여한다.