[논문 리뷰] Entanglement Entropy from Numerical Holography

Christian Ecker|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 11.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 11

한 줄 요약

이 학위논문은 음의 우주상수를 가진 5차원 아인슈타인 중력 이론을 사용하여 강한 상호작용을 가진 비평형 양자 시스템에서 얽힘 엔트로피를 계산하고 양자 영점 에너지 조건(QNEC)을 검증하기 위한 수치 홀로그래피 프레임워크를 제시한다. 연구는 폭이 좁은 충격파에 의해 고전적 영점 에너지 조건이 위반되더라도 QNEC가 여전히 성립함을 확인하였으며, 평형 근처에서의 얽힘 엔트로피 역학이 비등방성 시스템에서 준정상 모드로 잘 기술됨을 보여주었다.

ABSTRACT

In this thesis I present numerical studies of entanglement entropy and the quantum null energy condition in strongly coupled far-from-equilibrium quantum states using holography. I give a careful introduction into the numerical methods used and provide the computer codes to compute entanglement entropy and the quantum null energy condition. These methods are then applied to systems of various degrees of complexity, including homogeneous and isotropic far- from-equilibrium quantum quenches dual to Vaidya spacetimes, to homogeneous and anisotropic finite temperature states dual to anisotropic black brane geometries, and to inhomogeneous and anisotropic states of colliding walls of energy dual to gravitational shock wave collisions in Anti-de Sitter space. For all these scenarios I compute the fully non-linear dynamics of the dual geometry, which requires to numerically solve five-dimensional Einstein equations with negative cosmological constant and asymptotic Anti-de Sitter boundary conditions. The numerical solutions for the geometries allow to extract the time evolution of the holographic energy momentum tensor and provides the background for computing two-point functions, entanglement entropy and the quantum null energy condition. From the anisotropic system one learns that the near-equilibrium dynamic of entanglement entropy has an accurate description in terms of quasinormal modes. In the shock wave system I identify characteristic features of entanglement entropy that allow to discriminate between thick and narrow shocks. All my numerical studies confirm the quantum null energy condition, also the shock wave system, which itself can violate the classical null energy condition for sufficiently narrow shocks. My results also show that the quantum null energy condition can saturate in the far-from-equilibrium regime.

연구 동기 및 목표

• 강한 상호작용을 가진 양자 시스템에서 홀로그래피를 사용하여 얽힘 엔트로피를 계산하기 위한 수치적 방법을 개발하고 구현하는 것.
• 고전적 영점 에너지 조건이 위반되는 경우를 포함한 비평형 환경에서 양자 영점 에너지 조건(QNEC)의 타당성을 검증하는 것.
• 충돌하는 충격파와 바이다 스페이스타임과 같은 비등방성 및 비균일 시스템에서 얽힘 엔트로피의 역학을 조사하는 것.
• 홀로그래픽 모델에서 얽힘 엔트로피, 두 점 함수, 그리고 에너지-모멘텀 텐서를 계산하기 위한 오픈소스 코드와 수치 도구를 제공하는 것.
• 특히 높은 비등방성을 가진 충격파 충돌에서 관찰되는 바와 같이, 비평형 상태에서 QNEC의 포화 현상을 탐구하는 것.

제안 방법

• 강한 상호작용을 가진 양자 시스템의 이중 기하학을 모델링하기 위해 음의 우주상수를 가진 5차원 아인슈타인 방정식을 수치적으로 해결하고, 아도스 경계 조건을 갖는다.
• 메트릭의 운동 방정식을 해결하기 위해 유한차분 이완 방법을 사용하며, 적응형 격자 세분화와 반복 수렴 검사를 수행한다.
• 루이-타카야나기 공식을 통해 부스러기 시공간 내의 극값 표면의 면적을 계산하여 홀로그래픽 얽힘 엔트로피를 추출한다.
• 변형 매개변수에 대한 얽힘 엔트로피의 이阶도를 수치적으로 계산하는 방법을 구현하여 QNEC 표현식 (S'' + 6/c (S')²)/(2π) 의 평가를 가능하게 한다.
• 비등방성 시스템에서 수치 결과와 근처 평형 상태에서의 분석적 예측을 준정상 모드 분석을 통해 비교한다.
• 세 가지 다른 시나리오에 이 방법을 적용한다: 균일한 등방성 쿼런치(바이다), 비등방성 블랙 브레인, 그리고 충돌하는 중력 충격파.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 영점 에너지 조건이 위반되는 비평형 홀로그래픽 시스템에서 QNEC를 수치적으로 검증할 수 있는가, 특히 충격파 충돌 시나리오에서?
• RQ2 비등방성 비평형 양자 상태에서 얽힘 엔트로피의 역학은 어떻게 변화하며, 평형 근처에서는 준정상 모드로 기술될 수 있는가?
• RQ3 AdS 시공간에서 두꺼운 충격파와 좁은 충격파를 구분하는 데 특징적인 엔트로피의 특징은 무엇인가?
• RQ4 QNEC가 포화되는 영역는 어디이며, 이는 강한 상호작용 시스템에서 양자 에너지 조건의 구조에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 수치 홀로그래피는 시간에 따라 변하는 기하학에서 비국소 관측량인 얽힘 엔트로피와 두 점 함수를 체계적으로 계산하는 데 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• QNEC는 모든 연구된 시나리오에서 수치적으로 확인되었으며, 특히 고전적 영점 에너지 조건이 충분히 좁은 충격파에 의해 위반되는 충격파 충돌 시나리오에서도 성립함을 입증하였다.
• 비등방성 시스템에서는 평형 근처에서 얽힘 엔트로피의 역학이 준정상 모드로 정확히 기술되며, 이는 이 영역에서 선형화된 유체역학의 적용이 타당함을 검증한다.
• 충격파 시스템의 얽힘 엔트로피는 구형도와 같은 특성적 특징을 보이며, 이는 두꺼운 충격파와 좁은 충격파를 식별하는 데 기여한다.
• 충격파 충돌에서 관찰되는 바와 같이, QNEC는 비평형 상태에서도 포화될 수 있으며, 이는 극한의 비평형 조건에서 경계가 날카로운 것을 시사한다.
• 수치적 프레임워크는 완전히 비선형적이고 시간에 따라 변하는 기하학에서 홀로그래픽 에너지-모멘텀 텐서, 얽힘 엔트로피, 두 점 함수를 성공적으로 계산하였다.
• 이 연구는 얽힘 엔트로피와 QNEC를 계산하기 위한 공개된 소스 코드를 제공하여 재현 가능성과 다른 홀로그래픽 모델로의 확장 가능성을 보장한다.