[논문 리뷰] Entanglement entropy of multipartite pure state

Sergey Bravyi|arXiv (Cornell University)|2002. 05. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다입자 순수 양자 상태에서 모든 입자에 대해 완전한 본노이만 측정을 수행할 때의 연합 측정 결과의 최소 엔트로피를 조사한다. 두 큐비트 시스템의 경우, 이 최소 결과 엔트로피는 얽힘 엔트로피와 정확히 일치하며, 헕코드 상태(S[H] = 4 log 2)와 행렬식 상태(S[Detₙ] = log(n!))에 대해 명시적인 값을 계산한다. 또한 고정된 n과 d에 대해 이론적 상한 n log d에 수렴하는 상태를 구성한다.

ABSTRACT

Consider a system consisting of n d-dimensional quantum particles and arbitrary pure state $|\\Psi\ a$ of the whole system. Suppose we simultaneously perform complete von Neumann measurements on each of n particles. One can ask: what is the minimal possible value $S[\\Psi]$ of the entropy of outcomes joint probability distribution? We show that $S[\\Psi]$ coincides with entanglement entropy $E[\\Psi]$ for n=2. We compute $S[\\Psi]$ for two sample multipartite states~: the hexacode state $|{\ m H}\ a$, n=6, d=2, $S[H]=4\\log 2$ and determinant state $|{\ m Det}_n\ a$, d=n, $S[{\ m Det}_n]=\\log(n!)$. For fixed n and d the states with $S[\\Psi]$ close to upper bound $n\\log d$ are constructed.

연구 동기 및 목표

• 다입자 순수 상태 |Ψ⟩에서 모든 입자에 동시에 완전한 본노이만 측정을 수행할 때 발생하는 연합 확률 분포의 최소 엔트로피 S[Ψ]를 결정하는 것.
• n-입자 시스템에서 이러한 최소 측정 엔트로피 S[Ψ]와 표준 얽힘 엔트로피 E[Ψ] 사이의 관계를 탐구하는 것.
• 특정 얽힌 상태인 헕코드 상태(n=6, d=2)와 행렬식 상태(d=n)에 대해 S[Ψ]를 계산하는 것.
• 고정된 n과 d에 대해 S[Ψ]가 이론적 상한 n log d에 임의로 가까워지는 다입자 순수 상태를 구성하는 것.

제안 방법

• 시스템의 n개 입자 각각에 동시에 수행 가능한 모든 완전한 본노이만 측정에 대해 최소 엔트로피를 S[Ψ]로 정의한다.
• 양자 정보 이론 도구를 사용하여 S[Ψ]를 얽힘 엔트로피 E[Ψ]와 연관지되며, 특히 n=2일 때의 등식을 증명한다.
• n=6, d=2인 헕코드 상태 |H⟩를 분석하여 대칭성과 코드의 알려진 성질을 활용해 S[H] = 4 log 2를 계산한다.
• d=n인 행렬식 상태 |Detₙ⟩를 분석하여 행렬식 성질과 측정 결과를 활용해 S[Detₙ] = log(n!)를 계산한다.
• 구조화된 얽힘을 사용하여 고정된 n과 d에 대해 S[Ψ]가 상한 n log d에 임의로 가까워지는 상태의 가족을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순수 상태 |Ψ⟩에서 n개의 입자에 동시에 완전한 본노이만 측정을 수행할 때 발생하는 연합 확률 분포의 최소 엔트로피 S[Ψ]는 무엇인가요?
• RQ2 특히 n=2일 때, n-입자 시스템에서 S[Ψ]는 표준 얽힘 엔트로피 E[Ψ]와 어떻게 관련이 있나요?
• RQ3 n=6, d=2인 헕코드 상태 |H⟩에 대해 S[Ψ]의 값은 얼마인가요?
• RQ4 d=n인 행렬식 상태 |Detₙ⟩에 대해 S[Ψ]의 값은 얼마인가요?
• RQ5 고정된 n과 d에 대해 S[Ψ]가 상한 n log d에 수렴하는 다입자 순수 상태를 구성할 수 있는가요?

주요 결과

• n=2일 경우, 최소 측정 결과 엔트로피 S[Ψ]는 정확히 얽힘 엔트로피 E[Ψ]와 일치한다.
• n=6, d=2인 헕코드 상태 |H⟩에 대해 최소 측정 결과 엔트로피는 S[H] = 4 log 2이다.
• d=n인 행렬식 상태 |Detₙ⟩에 대해 최소 측정 결과 엔트로피는 S[Detₙ] = log(n!)이다.
• 논문은 고정된 n과 d에 대해 S[Ψ]가 이론적 상한 n log d에 수렴하는 다입자 순수 상태를 구성한다.
• 이러한 구성은 고차원 시스템에서 구조화된 얽힘을 통해 상한 n log d가 점점 가까이 다가가는 것으로 나타난다.