[논문 리뷰] Entanglement Entropy of Systems with Spontaneously Broken Continuous Symmetry

Max A. Metlitski, Tarun Grover|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 21.

Quantum many-body systems인용 수 74

한 줄 요약

이 논문은 자발적으로 연속 대칭이 깨진 양자 시스템의 얽힘 엔트로피를 유도하여, $N_G$가 골드스톤 모드의 수이고 $d$가 공간 차원인 바에 따라 $\frac{N_G(d-1)}{2}\log L$ 비례하는 보편적인 로그 보정항이 존재함을 보여준다. 이 보정항은 골드스톤 모드와 유한체적 대칭 복원 간의 상호작용에서 기인하며, 부드러운 부분계 경계가 있는 경우에도 발생한다. 이는 리만 표면에서의 양자장 이론 및 복제 기법을 통한 계산으로 확인된다.

ABSTRACT

We study entanglement properties of systems with spontaneously broken continuous symmetry. We find that in addition to the expected area law behavior, the entanglement entropy contains a subleading contribution which diverges logarithmically with the subsystem size in agreement with the Monte Carlo simulations of A. Kallin et. al. (Phys. Rev. B 84, 165134 (2011)). The coefficient of the logarithm is a universal number given simply by $N_G (d-1)/2$, where $N_G$ is the number of Goldstone modes and $d$ is the spatial dimension. This term is present even when the subsystem boundary is straight and contains no corners, and its origin lies in the interplay of Goldstone modes and restoration of symmetry in a finite volume. We also compute the "low-energy" part of the entanglement spectrum and show that it has the same characteristic "tower of states" form as the physical low-energy spectrum obtained when a system with spontaneously broken continuous symmetry is placed in a finite volume.

연구 동기 및 목표

• 자연스럽게 깨진 연속 대칭을 가진 양자 시스템에서의 얽힘 엔트로피의 구조, 특히 면적 법칙을 초월한 보조 보정항을 이해하는 것.
• 스케일 불변 시스템에서 경계가 부드러운 경우 보조 보정항이 사라져야 한다는 기대와 몬테카를로 시뮬레이션에서 관측된 로그 보정항 간의 명백한 모순을 해결하는 것.
• 얽힘 엔트로피의 로그 항의 기원이 골드스톤 모드와 유한체적 대칭 복원 간의 상호작용에서 비롯됨을 규명하는 것.
• 저에너지 얽힘 스펙트럼을 계산하고, 이가 끝없이 반복되는 상태의 구조를 띠며, 이는 끝없는 체적에서의 물리적 저에너지 스펙트럼과 유사함을 보이는 것.

제안 방법

• 복제 기법을 사용하여 $n$-겹 리만 표면을 활용해 레니 얽힘 엔트로피를 계산하고, 문제를 가지는 덮개 공간 위의 양자장 이론으로 매핑한다.
• 저에너지 효과 이론을 $N_G$개의 질량이 없는 스칼라 장(골드스톤 모드)으로 모델링하고, 스핀 강성 $\rho_s$를 사용하여 비선형 시그마 모형 작용을 적용한다.
• 갈림선을 가로질러서 장에 비틀림 경계 조건을 도입하여 원환형 수준 섹터를 고려하고, 이 비틀림은 원환형 수준 $r_k$에 의해 결정된다.
• 변동 $\delta\phi$에 대한 경로 적분을 수행하고 배경 $\phi_r$과 양자 변동의 기여를 분리하여 분할 함수 $Z_n^{h=0}$를 계산한다.
• 비영인 원환형 수준에 대해 라플라스 방정식의 해를 사용하여 작용 $S[\phi_r]$를 평가하고, 경계 조건 $\phi_k(\tau) = \phi_{k+1}(\tau - \beta) + 2\pi r_k$를 적용하여 $r_k$에 대한 이차형식을 도출한다.
• 원환형 수준 섹터를 합하기 위해 자비 타우 함수 $\nu(q) = \sum_r q^{r^2}$를 사용하고, 저온 근사에서 얽힘 엔트로피의 로그 의존성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부드러운 경계와 역점이 없는 2D 헤이젠베르크 모형에서 몬테카를로 시뮬레이션은 왜 얽힘 엔트로피에 로그 보정항을 관측하는가?
• RQ2 자연스럽게 깨진 연속 대칭을 가진 시스템에서 얽힘 엔트로피의 보조 로그 항의 기원은 무엇인가?
• RQ3 얽힘 스펙트럼은 끝없는 체적에서 물리적 저에너지 스펙트럼의 저에너지 구조를 어떻게 반영하는가?
• RQ4 부드럽고 역점이 없는 부분계 경계가 있는 경우에도 왜 로그 보정항이 유지되는가?

주요 결과

• 얽힘 엔트로피는 골드스톤 모드 수 $N_G$와 공간 차원 $d$에 따라 $\frac{N_G(d-1)}{2}\log L$ 비례하는 보편적인 로그 보정항을 포함하며, 이는 경계가 부드러운 경우에도 성립한다.
• 로그 보정항은 기하학적 특이성 때문이 아니라 골드스톤 모드와 유한체적 대칭 복원 간의 상호작용에서 기인한다.
• 얽힘 스펙트럼의 저에너지 부분은 끝없는 체적에서의 물리적 저에너지 스펙트럼과 동일한 '상태의 탑' 형태의 구조를 띤다.
• 복제 기법에서의 원환형 수준 합산은 저온 근사에서 얽힘 엔트로피에 로그 의존성을 유도하며, 이 계수는 골드스톤 모드 수와 차원성에 의해 결정된다.
• 로그 항의 계수는 단절 거리의 캐시에 독립적이며 보편적이며, 이는 수치 시뮬레이션과의 일치를 확인한다.
• 보조 로그 항이 $T \to 0$ 근사에서 유지되기 위해서는 원환형 수준의 합산을 적절히 포함시켜야 하며, 이는 이전에 존재했던 이론적 유도에서의 명백한 모순을 해결한다.