[논문 리뷰] Entanglement Entropy of U(1) Quantum Spin Liquids

Michael Pretko, T. Senthil|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|2015. 10. 13.

Quantum many-body systems인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 (3+1)-차원 U(1) 양자 스핀 액체의 얽힘 엔트로피를 조사한다. 이는 갭이 없는 광자와 갭이 있는 물질을 포함하는 탈구속 U(1) 게이지 이론으로 기술되는 갭이 없는 상태이다. 비소그나노-비히르만 정리와 국소적 열적 근사법을 사용하여, 얽힘 엔트로피에 대한 두 가지 보편적인 보조 기여를 규명한다: 갭이 없는 광자가 기여하는 저에너지 conformal field theory에서 기인하는 상수 로그 항과, 전기 플럭스 제약에서 기인하는 별개의 로그 항으로, 이는 갭이 없는 시스템으로의 위상 얽힘 엔트로피의 일반화이다.

ABSTRACT

We here investigate the entanglement structure of the ground state of a (3+1)-dimensional U(1) quantum spin liquid, which is described by the deconfined phase of a compact U(1) gauge theory. A gapless photon is the only low-energy excitation, with matter existing as deconfined but gapped excitations of the system. It is found that, for a given bipartition of the system, the elements of the entanglement spectrum can be grouped according to the electric flux between the two regions, leading to a useful interpretation of the entanglement spectrum in terms of electric charges living on the boundary. The entanglement spectrum is also given additional structure due to the presence of the gapless photon. Making use of the Bisognano-Wichmann theorem and a local thermal approximation, these two contributions to the entanglement (particle and photon) are recast in terms of boundary and bulk contributions, respectively. Both pieces of the entanglement structure give rise to universal subleading terms (relative to the area law) in the entanglement entropy, which are logarithmic in the system size (log L), as opposed to the subleading constant term in gapped topologically ordered systems. The photon subleading logarithm arises from the low-energy conformal field theory and is essentially local in character. The particle subleading logarithm arises due to the constraint of closed electric loops in the wavefunction and is shown to be the natural generalization of topological entanglement entropy to the U(1) spin liquid. This contribution to the entanglement entropy can be isolated by means of the Grover-Turner-Vishwanath construction (which generalizes the Kitaev-Preskill scheme to three dimensions).

연구 동기 및 목표

• 3+1차원에서 물리적으로 안정적이지만 여전히 완전한 이론적 프레임워크가 없는 갭이 없는 U(1) 양자 스핀 액체의 얽힘 구조를 이해하기 위해.
• 갭이 없는 스핀 액체에서 위상 얽힘 엔트로피와 유사한 장거리 얽힘의 보편적 서명이 존재하는지 확인하기 위해.
• 면적 법을 초월하여 갭이 없는 광자와 제약된 전기 플럭스의 기여를 분리하고 특성화하기 위해.
• 그로버-터너-비슈와나타의 구성법을 사용하여 키타예브-프레실 계획을 3차원으로 일반화하여 위상 로그 항을 추출하기 위해.

제안 방법

• 계의 얽힘 스펙트럼을 분석하기 위해 시스템을 이분하고 경계를 가로질러 전기 플럭스에 따라 상태를 묶으며, 이를 경계 전기 전하로 해석한다.
• 비소그나노-비히르만 정리를 적용하여 갭이 없는 광자의 얽힘을 경계에서의 열 상태로 모델링하고, 보편적인 로그 기여를 도출한다.
• 국소적 열적 근사를 사용하여 양자 엔트로피의 부피(광자) 기여와 경계(입자) 기여를 분리한다.
• 그로버-터너-비슈와나타 구성법을 사용하여 입자 부문에서 위상 로그 항을 분리하고, 키타예브-프레실 계획을 3차원으로 일반화한다.
• 파동함수 분포에 대한 푸리에 적분 방법을 사용하여 보조 로그 항을 계산하고, U(1) 경우의 발산을 피하기 위해 정규화를 수행한다.
• 플럭스 분포의 푸리에 변환이 비제곱형태를 띠는(예: η > 2) 미세조정된 파동함수를 고려하여, 수정된 로그 스케일링을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 갭이 없는 U(1) 양자 스핀 액체는 갭이 있는 위상적으로 순서가 된 시스템에서의 상수 항과 유사한 보편적인 보조 로그 보정항을 얻는가?
• RQ2 파동함수 내 갭이 없는 광자와 제약된 전기 플럭스의 기여가 얽힘 엔트로피에 각각 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 위상 얽힘 엔트로피 개념은 갭이 없는 시스템으로 일반화될 수 있으며, 만약 그렇다면 갭이 있는 경우와 어떻게 다를까?
• RQ4 정규화는 U(1) 게이지 이론에서 유한한 얽힘 엔트로피를 추출하는 데 어떤 역할을 하는가? 특히 전기장 비용이 0으로 수렴하는 극한에서 어떻게 작용하는가?
• RQ5 이산 Z_n 게이지 이론과 U(1) 게이지 이론 간에 그들의 얽힘 엔트로피 스케일링 방식에 결정적인 차이가 존재하는가? 특히 큰 n 근사에서 어떻게 다를까?

주요 결과

• 3+1차원 U(1) 양자 스핀 액체의 얽힘 엔트로피는 시스템 크기 L에 대해 보편적인 로그 보조항 −(d−1)/2 log L을 보이며, 이는 갭이 없는 광자의 conformal field theory 행동에서 기인한다.
• 두 번째 보편적인 로그 기여항 −(d−1)/2 log L는 전기 플럭스 선이 닫혀야 한다는 제약에서 기인하며, 이는 갭이 없는 시스템으로의 위상 얽힘 엔트로피의 일반화이다.
• 광자 기여는 국소적 성격을 띠며 저에너지 CFT에서 기인하지만, 입자 기여는 비국소적이며 닫힌 전기 루프의 위상학적 성격과 연결된다.
• 전기 플럭스 제약에서 기인하는 보조 로그 항은 그로버-터너-비슈와나타 구성법을 통해 분리되었으며, 이는 키타예브-프레실 계획을 3차원으로 일반화한 것이다.
• U(1) 경우에서는 전기장 비용이 0으로 조정될 경우 얽힘 엔트로피가 발산하므로 정규화가 필요하며, 이는 이산 Z_n 게이지 이론과는 다름을 보여준다. Z_n 이론에서는 위상 엔트로피가 유한하게 유지된다.
• 비제곱형태의 푸리에 변환 행동(예: η > 2)을 가지는 미세조정된 파동함수의 경우, 로그 스케일링은 −(d−1)/η log L로 변형되며, 이는 지수 η를 조절하여 보편적인 로그 보정항을 수정할 수 있음을 보여준다.