[논문 리뷰] Entanglement in non-unitary quantum critical spin chains

Romain Couvreur, Jesper Lykke Jacobsen외 1명|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|2016. 11. 25.

Quantum many-body systems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양자군 또는 초군 대칭을 가진 비유니터리 양자临계 스핀 체인에서 레니 엔트로피를 기하학적 및 대수적 프레임워크로 정의하기 위한 방법을 제안한다. 루프 모델에 기반한 왼쪽 및 오른쪽 고유상태와 트레이스 정의를 사용하여, 효과적 중심 전하를 포함한 엔트로피 스케일링 법칙을 수립한다. 이는 유리 최소 모델에서 표준 중심 전하와 구별되며, 퍼콜레이션에 대한 $sl(2|1)$ 스핀 체인과 같은 비유니터리 경우에도 일관된 정의를 제공한다.

ABSTRACT

Entanglement entropy has proven invaluable to our understanding of quantum criticality. It is natural to try to extend the concept to non-unitary quantum mechanics, which has seen growing interest from areas as diverse as open quantum systems, non-interacting electronic disordered systems, or non-unitary conformal field theory (CFT). We propose and investigate such an extension here, by focussing on the case of one-dimensional quantum group symmetric or supergroup symmetric spin chains. We show that the consideration of left and right eigenstates combined with appropriate definitions of the trace leads to a natural definition of Rényi entropies in a large variety of models. We interpret this definition geometrically in terms of related loop models and calculate the corresponding scaling in the conformal case. This allows us to distinguish the role of the central charge and effective central charge in rational minimal models of CFT, and to define an effective central charge in other, less well understood cases. The example of the $sl(2|1)$ alternating spin chain for percolation is discussed in detail.

연구 동기 및 목표

• 비유니터리 시스템, 특히 비에르미트 해밀토니안을 가진 임계 스핀 체인으로 비유니터리 양자역학을 넘어서 엔트로피 개념을 확장하는 것.
• 왼쪽 및 오른쪽 기저 상태가 다를 때 및 연장 조건에 따라 연장 조건이 달라지는 경우 밀도 행렬과 엔트로피 정의의 모호함을 해결하는 것.
• 비유니터리 초등각 이론에서 루프 모델과 쿨롱 가스 표현을 통해 기하학적 및 대수적 방법으로 레니 엔트로피를 정의하는 것.
• 유리 최소 모델에서 중심 전하 $c$와 효과적 중심 전하 $c_{\rm eff}$의 역할을 구분하고, 덜 이해된 경우에도 $c_{\rm eff}$를 정의하는 것.
• 퍼콜레이션에 대한 $sl(2|1)$ 교대 스핀 체인과 IQHE 플레이트우드 전이에 대한 $gl(2|2)$ 체인과 같은 물리적으로 중요한 모델에 프레임워크를 적용하는 것.

제안 방법

• 비에르미트 해밀토니안의 왼쪽 및 오른쪽 고유상태를 사용하여 레니 엔트로피를 정의하고, 비유니터리 설정에서 일관성을 유지하는 수정된 트레이스 연산을 조합한다.
• 템페리-라이브 대수와 RSOS 격자 모델을 통해 스핀 체인을 루프 모델로 매핑하여 엔트로피 스케일링의 기하학적 해석을 가능하게 한다.
• 쿨롱 가스 표현과 정점 연산자 삽입을 사용하여 $N$-복제 모델의 분할 함수를 계산하고, 위상수학적 및 경계 기여를 포착한다.
• 분할 함수 비율 $Z_N / Z_1^N$의 주요 로그 및 하위로그 항을 분석하여, conformal 근사에서 레니 엔트로피의 스케일링을 유도한다.
• 유한한 (유리 최소 모델) 및 비유한 (리우빌 이론) CFT에 모두 이론을 적용하며, $m \to \infty$ 근사로 $c=1$ 리우빌 이론을 복원한다.
• 경계 조건을 아프렉트-루돌프 경계 엔트로피를 통해 고려하여, 레니 엔트로피의 $O(1)$ 항이 $\ln g_{\rm boundary}$와 일치함을 보여 프레임워크의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유니터리 양자临계 스핀 체인에서 해밀토니안이 비에르미트이고 왼쪽/오른쪽 기저 상태가 다를 경우, 엔트로피를 어떻게 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 비유니터리 초등각 이론에서 엔트로피 스케일링 법칙 $c/3 \ln L$의 올바른 일반화는 무엇인가?
• RQ3 유리 최소 모델에서 레니 엔트로피 스케일링에서 표준 중심 전하 $c$와 효과적 중심 전하 $c_{\rm eff}$의 역할은 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ4 루프 모델과 양자군 대칭을 기반으로 한 기하학적 및 대수적 프레임워크는 비유니터리 시스템에서 엔트로피를 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ5 비유한 CFT, 예를 들어 $c=1$ 리우빌 이론에서 엔트로피 스케일링은 어떻게 되며, 이는 유한 모델과 어떻게 다를 수 있는가?

주요 결과

• 비유니터리 임계 스핀 체인에서 레니 엔트로피는 $c=1$ 리우빌 이론에서 $S^{(N)} = \frac{N+1}{6N} \ln L - \frac{1}{2} \ln(\ln L)$로 스케일링되며, 비유한 자유도에서 기인하는 하위항 $\ln(\ln L)$ 항이 나타난다.
• 유리 최소 모델의 경우 엔트로피는 $S_A \approx \frac{c_{\rm eff}}{3} \ln(L/a)$로 스케일링되며, 이는 이전 결과와 일치하며 이제는 기하학적 루프 모델 프레임워크로부터 유도된다.
• 레니 엔트로피의 $O(1)$ 상수는 경계 degeneracy 요소 $g_{\rm boundary}$의 로그와 일치하며, 이는 루프 모델 구성에서 아프렉트-루돌프 경계 엔트로피와의 일致를 확인한다.
• 이 프레임워크는 분할 함수 $Z=1$인 경우에도 비트리비얼한 엔트로피를 정의할 수 있으며, 이는 특정 초대칭 모델에서 성립한다.
• 이 방법은 $c$와 $c_{\rm eff}$의 역할을 명확히 구분한다: 수정된 트레이스 정의를 사용할 경우 $c$는 주항목에 나타나지만, $c_{\rm eff}$는 최소 모델에서 표준 스케일링을 지배한다.
• $sl(2|1)$ 교대 스핀 체인에 대한 퍼콜레이션은 상세히 다루어졌으며, 이 이론이 일관되고 물리적으로 의미 있는 엔트로피 스케일링을 도출함을 보여준다.