[논문 리뷰] Entanglement in the Grover's Search Algorithm

Shantanav Chakraborty, Subhashish Banerjee외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 1인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 큐비트 수(n)와 해가 되는 상태 수(M)에 따라 반복 횟수에 따른 전반적인 얽힘을 측정하기 위해 기하학적 얽힘 측도를 사용하여 고버의 검색 알고리즘에서 얽힘의 역할을 조사한다. 분석적으로 반복 횟수에 따른 얽힘 동역학을 유도하며, M=1일 경우 최대 얽힘은 최적 반복 횟수의 약 절반에서 정점에 도달하고, M이 증가함에 따라 오른쪽으로 이동하며, 이는 해가 되는 상태의 구조에만 의존하며, n이 증가함에 따라 최대 얽힘도 증가한다.

ABSTRACT

Quantum Algorithms have long captured the imagination of computer scientists and physicists primarily because of the speed up achieved by them over their classical counterparts using principles of quantum mechanics. Entanglement is believed to be the primary phenomena behind this speed up. However their precise role in quantum algorithms is yet unclear. In this article, we explore the nature of entanglement in the Grover's search algorithm. This algorithm enables searching of elements from an unstructured database quadratically faster than the best known classical algorithm. Geometric measure of entanglement has been used to quantify and analyse entanglement across iterations of the algorithm. We reveal how the entanglement varies with increase in the number of qubits and also with the number of marked or solution states. Numerically, it is seen that the behaviour of the maximum value of entanglement is monotonous with the number of qubits. Also, for a given value of the number of qubits, a change in the marked states alters the amount of entanglement. The amount of entanglement in the final state of the algorithm has been shown to depend solely on the nature of the marked states. Explicit analytical expressions are given showing the variation of entanglement with the number of iterations and the global maximum value of entanglement attained across all iterations of the algorithm.

연구 동기 및 목표

• 양자 알고리즘의 가속화에 기여하는 얽힘의 정확한 역할을 이해하기 위해.
• 일반적인 n-큐비트 시스템에서 M개의 해가 되는 상태를 가진 고버 알고리즘의 반복 횟수에 따른 얽힘의 변화를 정량화하기 위해.
• 양자 상태 수(n)와 해가 되는 상태 수(M)에 따른 얽힘의 의존성 분석하기 위해.
• 기하학적 얽힘 측도를 조화 측도와 비교하여 다수의 해가 되는 상태에 대해 얽힘을 정량화하는 데서의 장점 평가하기 위해.

제안 방법

• 기하학적 얽힘 측도 E(|ψ⟩) = 1 − max|⟨ζ|ψ⟩|²를 정의하여 얽힘 상태와 가장 가까운 분리 가능 상태 사이의 전반적 얽힘을 측정한다.
• θr = (r + ½) arcsin(2√(M/N))로 제어되는 상태 진폭의 진화를 포함하여 각 반복 r에서의 얽힘에 대한 일반화된 분석적 표현을 도출한다.
• 다양한 n과 M에 대해 반복 횟수에 따른 얽힘 동역학을 수치적으로 평가하며, W 상태 및 GHZ 상태와 같은 특수 상태로의 수렴도 포함한다.
• 이전 연구에서 얻은 조화 측도 기반의 결과와 비교하여 다수의 해가 되는 상태에 대해 얽힘 감지를 위한 한계를 강조한다.
• 모든 반복 동안 도달하는 전역 최대 얽힘을 계산하고, 이에 대한 n과 M에 대한 분석적 의존성을 유도한다.
• W 상태와 같은 알려진 얽힘 상태로 수렴할 경우의 얽힘 행동을 연구하며, E(|ψr, M=n⟩)에 대한 명시적 표현을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n 큐비트와 M개의 해가 되는 상태를 가진 고버의 검색 알고리즘에서 반복 횟수에 따라 기하학적 얽힘 측도는 어떻게 변하는가?
• RQ2 최대 얽힘은 큐비트 수 n과 해가 되는 상태 수 M에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 M이 증가함에 따라 최대 얽힘 위치는 어떻게 이동하며, M > 1일 경우 중앙점에서 벗어나는 이유는 무엇인가?
• RQ4 최종 상태의 얽힘은 알고리즘 매개변수 외에 해가 되는 상태의 구조에 얼마나 의존하는가?
• RQ5 고버의 알고리즘에서 얽힘 동역학을 정량화할 때 기하학적 얽힘 측도는 조화 측도와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 고정된 M에 대해 큐비트 수 n이 증가함에 따라 최대 얽힘 값은 단조적으로 증가하며, 일관된 스케일링 경향을 보인다.
• M = 1일 경우 최대 얽힘은 약 r = r_opt / 2에서 발생하여 최적 반복 수를 중심으로 대칭적인 진화를 보인다.
• M > 1일 경우 최대 얽힘은 중앙점 오른쪽으로 이동하며, M이 증가함에 따라 이동량이 증가하고 M이 증가함에 따라 r_opt에 수렴한다.
• 최종 상태의 얽힘은 해가 되는 상태의 성격에만 의존한다: M=1일 경우는 분리 가능하므로 0이며, W 상태와 같은 얽힌 해가 되는 상태 구성일 경우는 비영이다.
• 반복 횟수 r에 따른 얽힘의 명시적 분석적 표현을 도출하여 알고리즘 동안 도달 가능한 얽힘의 정확한 범위를 제공한다.
• W 상태로 수렴하는 경우(M = n, 각 해가 되는 상태는 1개의 1을 가짐)의 얽힘 동역학은 분석적으로 표현되고 수치적으로 검증되었으며, 뚜렷한 피크 행동을 보인다.