[논문 리뷰] Entanglement is Necessary for Optimal Quantum Property Testing

Sébastien Bubeck, Sitan Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 40인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 최적의 양자 성질 테스팅을 위해 얽힘(entanglement)이 필수적임을 보여주며, 얽히지 않은(적응형 또는 비적응형) 측정법이 혼합도 테스팅에 Ω(d⁴/³/ε²)개의 복제본이 필요하다는 것을 증명한다. 이는 얽힌 측정법으로 달성 가능한 최적의 O(d/ε²)개의 복제본보다 엄격히 더 많은 것을 의미한다. 이 결과는 양자 상태 인증에서 얽힘 측정과 얽히지 않은 측정 간의 초선형 분리(superlinear separation)를 해결함으로써, 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

There has been a surge of progress in recent years in developing algorithms for testing and learning quantum states that achieve optimal copy complexity. Unfortunately, they require the use of entangled measurements across many copies of the underlying state and thus remain outside the realm of what is currently experimentally feasible. A natural question is whether one can match the copy complexity of such algorithms using only independent---but possibly adaptively chosen---measurements on individual copies. We answer this in the negative for arguably the most basic quantum testing problem: deciding whether a given $d$-dimensional quantum state is equal to or $ε$-far in trace distance from the maximally mixed state. While it is known how to achieve optimal $O(d/ε^2)$ copy complexity using entangled measurements, we show that with independent measurements, $Ω(d^{4/3}/ε^2)$ is necessary, even if the measurements are chosen adaptively. This resolves a question of Wright. To obtain this lower bound, we develop several new techniques, including a chain-rule style proof of Paninski's lower bound for classical uniformity testing, which may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 최적의 복제본 복잡도가 얽히지 않은 측정법만을 사용하여 달성될 수 있는지 여부를 해결하기 위해, 실험적으로 구현 가능한 얽히지 않은 측정법을 고려한다.
• 양자 성질 테스팅에서 얽히지 않은 측정법(비적응형 및 적응형 모두)의 기본적인 제약을 얽힌 측정법과 비교하여 조사한다.
• 기본적인 혼합도 테스팅 문제에 대해, 얽힌 측정 전략과 얽히지 않은 측정 전략 간의 복제본 복잡도를 정량적으로 분리한다.
• 새로운 분석 기법을 개발하며, 이는 판인스키의 고전적 균일성 테스팅 하한값을 체인 룰 스타일 증명으로 재구성하는 데 사용되며, 더 넓은 응용 가능성을 가진다.

제안 방법

• 무작위 유니터리 평균과 모멘트 생성 함수를 기반으로 한 새로운 정보이론적 프레임워크를 사용하여, 얽히지 않은 가능성이 있는 적응형 측정에 대한 복제본 복잡도 하한을 증명한다.
• 양자 측정 연산자의 구조를 활용하여, 랜덤 유니터리 행렬에 대한 농도 부등식을 통해 고전적 이항 꼬리 부등식의 양자 버전을 도입한다.
• 체인 룰 스타일의 추론을 사용하여 판인스키의 고전적 균일성 테스팅 하한을 재구성함으로써, 독립적인 유용성을 가진 새로운 기법을 확립한다.
• 무작위 유니터리에 걸친 측정 결과 통계의 곱의 기대값을 분석하여, 최대 혼합 상태와 ε-멀리 떨어진 상태 간의 구별 가능성의 상한을 구한다.
• 고차원 랜덤 행렬에서 이차 형식에 대한 햄슨-하우드(Hanson-Wright) 부등식의 개선된 형태를 적용하여 측정 통계의 尾확률을 제어한다.
• 꼬리 부등식과 모멘트 추정을 조합하여 신뢰성 있는 식별에 필요한 복제본 수의 하한을 유도하며, Ω(d⁴/³/ε²)개의 복제본이 필수적임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적의 O(d/ε²) 복제본 복잡도가 얽히지 않은 측정법만을 사용하여 양자 혼합도 테스팅에 달성될 수 있는가?
• RQ2 측정이 얽히지 않은 상태이며 가능하면 적응형일 경우, 최소한의 복제본 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 양자 상태 인증에서 얽힌 측정 전략과 얽히지 않은 측정 전략 간에 복제본 복잡도의 증명 가능한 분리가 존재하는가?
• RQ4 판인스키의 고전적 하한 기법을 양자 환경에 적응시켜 새로운 양자 정보이론적 결과를 도출할 수 있는가?
• RQ5 적응형, 얽히지 않은 측정법이 얽힌 측정법에 비해 양자 성질 테스팅에서 겪는 기본적인 제약은 무엇인가?

주요 결과

• 양자 혼합도 테스팅에서, 얽히지 않은 적응형 측정법은 Ω(d⁴/³/ε²)개의 복제본이 필요하며, 이는 얽힌 측정법으로 달성 가능한 최적의 O(d/ε²)개의 복제본에 비해 초선형 증가이다.
• 논문은 얽힌 측정과 얽히지 않은 측정 간의 엄격한 분리를 확립하며, 최적의 복제본 복잡도를 위해 얽힘이 필수적임을 보여준다.
• 체인 룰 스타일의 추론을 사용하여 판인스키의 고전적 균일성 테스팅 하한을 재구성하는 새로운 증명 기법을 개발하였으며, 이는 고전 통계학 분야에서 독립적인 관심을 가질 수 있다.
• 분석 결과, 적응형이더라도 얽히지 않은 측정법은 개별 복제본으로부터의 정보 추출에 대한 기본적인 제약로 인해 얽힌 측정법의 효율성을 따라잡을 수 없다는 것이 드러났다.
• 하한은 모멘트 생성 함수 분석과 랜덤 유니터리 행렬에 대한 농도 부등식을 통해 도출되었으며, 이는 얽히지 않은 측정법 하에서 ε-멀리 떨어진 상태와 최대 혼합 상태 간의 구별 가능성의 감소 속도가 너무 느리다는 것을 보여준다.
• 이 결과는 [Wri16]에서 제기된 열린 문제를 해결하며, 얽힘이 기술적 편의성 이상의 의미를 지닌다는 것을 증명한다. 즉, 최적의 양자 성질 테스팅을 위해서는 얽힘이 필수적인 자원이어야 한다.