[논문 리뷰] Entanglement of Free Fermions and Bosons at Finite Temperature

Joaquín E. Drut, William J. Porter|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 06.

Quantum many-body systems참고 문헌 49인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비상호작용 페르미온과 보스온에 대해 유한 온도에서 일차원, 이차원, 삼차원 공간 차원에서 레니 엔트로피의 정확한, 전순서-포화(fugacity) 결과를 제시한다. 단일 입자 그린 함수에 바이르탈 전개 기법을 적용하여 저자들은 주요 기여와 그 다음 주요 기여에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도하며, 고온 근사에서 체적 스케일링이 명시적으로 드러나고, 보스온은 얽힘을 증가시키고 페르미온은 억제함을 보여준다. 이는 포화 인자에 대해 두 번째 차수에서 나타난다.

ABSTRACT

We generalize techniques previously used to compute ground-state properties of one-dimensional noninteracting quantum gases to obtain exact results at finite temperature. We compute the order-n Rényi entanglement entropy to all orders in the fugacity in one, two, and three spatial dimensions. In all spatial dimensions, we provide closed-form expressions for its virial expansion up to next-to-leading order. In all of our results, we find explicit volume scaling in the high-temperature limit.

연구 동기 및 목표

• 임의의 공간 차원에서 비상호작용 페르미온과 보스온의 레니 엔트로피를 유한 온도에서 계산하기.
• 지금까지는 희소한 결과를 보이는 고온 영역으로 확장된 고체 상태 엔트로피 기법을 적용하기.
• 다체 양자 시스템에서 양자 몬테카를로 및 기타 수치적 방법에 대한 비파erturbative 기준을 제공하기.
• 포화 인자에 대해 두 번째 주요 기여까지의 바이르탈 전개를 분석하여 통계 효과를 파악하기.

제안 방법

• 그랜드 캐논리컬 분포함수를 통해 오버랩 행렬 형식 기반의 방법을 고온 영역으로 일반화하기.
• 포화 인자 $ z = e^{\beta\mu} $ 를 사용하여 운동량 공간 및 좌표 공간에서 단일 입자 그린 함수 유도하기.
• 그린 함수를 $ z $ 에 대한 바이르탈 급수로 전개하여, 가우시안 함수로 표현된 $ \mathcal{A}_{j,\bm{x}\bm{x}'} $ 의 명시적 표현식을 도출하기.
• 레플리카 기법과 허버드-스트라토니치 변환을 사용하여 감소 밀도 행렬을 포함하는 함수행렬식으로서의 레니 엔트로피 $ S_n $ 계산하기.
• 그린 함수의 트레이스와 그 거듭제곱의 미분을 통해 $ S_n $ 의 바이르탈 전개를 $ z^2 $ 까지 추출하기.
• 유도된 표현식을 사용하여 고온, 희박한 영역에서 유효한 $ z $ 에 대한 주요 기여와 그 다음 주요 기여 항을 계산하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 페르미온과 보스온의 레니 엔트로피는 일차원, 이차원, 삼차원에서 체적과 온도에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ2 포화 인자 $ z=0 $ 근처에서 바이르탈 전개의 주요 기여와 그 다음 주요 기여는 무엇이며, 페르미온과 보스온 간에 어떻게 다름?
• RQ3 고온 근사에서 엔트로피에 체적 스케일링이 명시적으로 나타나는가? 만약 그렇다면 어떻게 정량화되는가?
• RQ4 양자 통계(페르미-디랙 대비 보즈-아인슈타인)는 엔트로피 바이르탈 전개의 두 번째 차수 보정 항에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 바이르탈 전개의 수렴 성질은 공간 차원에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 주요 기여 단계에서 레니 엔트로피는 통계에 독립적이며, 단일 입자 기여에만 의존하므로 페르미온과 보스온 간에 동일하다.
• 그 다음 주요 기여 단계($ z^2 $)에서, 두 입자 상관 항의 부호와 구조 때문에 페르미온은 엔트로피를 감소시키고, 보스온은 증가시킨다.
• 고온 근사에서 엔트로피는 명시적인 체적 스케일링을 보이며, 주요 항은 $ \theta^d $ 비례한다. 여기서 $ \theta $ 는 무차원 영역 크기이다.
• 더 높은 차원에서 바이르탈 전개의 수렴 속도가 더 빠르며, $ d=3 $ 의 경우 $ d=1 $ 에 비해 첫 번째 및 두 번째 차수 근사 간의 일치가 더 좋다.
• 결과는 포화 인자 전개에서 정확하며, 다체 시스템에서 양자 몬테카를로 등의 수치적 방법에 대한 비파erturbative 기준을 제공한다.