[논문 리뷰] Entire functions of several variables of bounded index

Andriy Bandura, О. Б. Скасків|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 29.

Meromorphic and Entire Functions인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 주어진 방향 $ \boldsymbol{b} $ 에서 유계 $ L $-지수를 갖는 다변수 복소함수의 새로운 개념을 도입하며, 고전적 유계 지수 이론을 일반화한다. 방향 도함수와 로그 도함수를 이용한 유계성 기준을 수립함으로써, 일변수 결과를 다변수로 확장하면서 이전에 부분 도함수에 기반한 접근 방식의 기술적 한계를 극복한다.

ABSTRACT

This monograph is devoted to the theory of entire functions of several variables. A definition of bounded index was supposed by B. Lepson. We generalised his definition for several variables and obtained criteria of L-index boundedness in direction. In particular we obtained obtain analogues of one-dimensional criterion of boundedness L-index in terms of behaviour the logarithmic derivative outside of zero sets, sufficient conditions of L-index boundedness in direction for some subclass of entire functions with "plane" zeros, sufficient conditions of L-index boundedness of entire solutions for some partial differential equations. Besides differential equations, entire functions of bounded index have application in the theory of value distribution. The monograph is published by "Chyslo": http://chyslo.com.ua/index.php?route=product/category&path=62

연구 동기 및 목표

• 일변수 복소함수의 유계 지수 개념을 방향 도함수를 이용하여 다변수 유계 함수로 확장한다.
• 특히 무한 곱의 영점 집합과 성장 분석에서 문제가 되는 부분 도함수 기반 접근 방식의 한계를 극복한다.
• 영점 집합 외부에서 로그 도함수의 행동을 통해 유계 $ L $-지수의 특성 조건을 설정한다.
• 선형 미분계의 전체 해가 공동 변수에서 유계 $ L $-지수를 갖는 데 필요한 충분 조건을 제공한다.
• 기존의 다차원 환경에서의 유계 지수 이론과 유계 $ l $-지수 이론을 통합하고 일반화한다.

제안 방법

• 연속적인 주재산수 $ L: \bbC^n \to \bbR_+ $ 를 이용해 방향 도함수의 성장 $ \frac{\big|\frac{\nabla_{\boldsymbol{b}}^m F(z)}{m! L^m(z)}\big| $ 을 통해 방향 $ \boldsymbol{b} $ 에서의 전체 함수의 유계 $ L $-지수를 정의한다.
• 다변수 분석을 일변수 전체 함수로 줄이기 위해 방향 슬라이스 함수 $ g_z(t) = F(z + t\boldsymbol{b}) $ 를 도입한다.
• 영점 집합 외부에서의 유계성 특성 조건을 도출하기 위해 로그 도함수 $ \frac{g_z'(t)}{g_z(t)} $ 를 사용하며, 부분 도함수에 의존하지 않는다.
• 직선 $ z + t\boldsymbol{b} $ 에서 $ L $-값의 비율을 제어하기 위해 $ \rho_{\boldsymbol{b}}(z,t_0,\rho) $ 와 $ \rho_{\boldsymbol{b}}(z,\rho) $ 를 정의하여 균일성을 확보한다.
• 함수 $ L $ 이 다음 조건을 만족하는 클래스 $ \bQ^n_{\boldsymbol{b}} $ 를 도입한다: $ 0 < \tilde{\rho}_1(\rho) \triangleq \tilde{\rho}_1^{\boldsymbol{b}}(\rho) \triangleq \text{ess inf} \frac{L(z+t\boldsymbol{b})}{L(z+t_0\boldsymbol{b})} \text{ over } |t-t_0| \rho/L(z+t_0\boldsymbol{b}) $, 이를 통해 정규성을 확보한다.
• 영점 주위의 닫힌 디스크를 $ 1/L $ 으로 스케일링하여 정의된 집합 $ G_r^{\boldsymbol{b}}(F,z^0) $ 을 정의함으로써 잠재적 성장 영역을 국소화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일변수 복소함수의 유계 지수 개념을 방향 도함수를 이용해 다변수 전체 함수로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 함수 $ F $ 와 주재산수 $ L $ 에 어떤 조건이 성립하면 $ F $ 가 주어진 방향 $ \boldsymbol{b} $ 에서 유계 $ L $-지수를 갖는가?
• RQ3 영점 집합 외부에서 로그 도함수 $ \frac{g_z'(t)}{g_z(t)} $ 의 행동은 다변수에서의 유계 $ L $-지수를 어떻게 특성화하는가?
• RQ4 선형 미분계의 전체 해가 공동 변수에서 유계 $ L $-지수를 갖는 데 필요한 충분 조건는 무엇인가?
• RQ5 이전의 부분 도함수 기반 방법의 기술적 한계를 극복할 수 있는가, 특히 평면 영점을 갖는 무한 곱의 경우에 대해?

주요 결과

• 적절한 $ L $-정규성 조건 하에서, 영점 집합 외부에서 로그 도함수 $ \frac{g_z'(t)}{g_z(t)} $ 의 균일한 유계성에 의해 방향 $ \boldsymbol{b} $ 에서의 전체 함수의 유계 $ L $-지수를 특성화하는 것을 수립한다.
• 만약 $ L \triangleq \text{const} $ 이면, 새로운 정의는 고전적 방향 유계 지수로 축소되며, 기존 결과와의 일致성을 보장한다.
• 클래스 $ \bQ^n_{\boldsymbol{b}} $ 는 관련 이웃 영역에서 비율 $ \frac{L(z+t\boldsymbol{b})}{L(z+t_0\boldsymbol{b})} $ 가 0 또는 무한대에서 멀리 떨어져 있음을 보장하여 균일한 추정이 가능하게 한다.
• 방향 $ \boldsymbol{b} $ 에서 유계 $ L $-지수를 갖는 함수 $ F $ 에 대해 최대 모듈러스 $ M(r,F,z) $ 는 상수 × $ \text{exp}(\text{const} \times r) $ 의 정도로만 증가하며, 상수는 $ L $ 과 $ \boldsymbol{b} $ 에 따라 달라진다.
• 새로운 프레임워크는 이전 부분 도함수 기반 정의에서 문제가 되었던 평면 영점 집합(예: 무한 곱)을 갖는 전체 함수의 분석을 가능하게 한다.
• 공동 변수에서의 유계 $ L $-지수를 위한 충분 조건가 도출되었으며, 선형 미분계의 해에 대한 기존 결과가 새로운 방향 기반 프레임워크로 확장되었다.