[논문 리뷰] Entire solutions of Schrödinger elliptic systems with discontinuous nonlinearity and sign-changing potential

Teodora Liliana Dinu|arXiv (Cornell University)|2005. 11. 08.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비연속 비선형성과 부호가 변화하는 포텐셜을 갖는 계수 슈뢰딩어 타원형 시스템에 대해, 미끄러운 임계점 이론을 사용하여 비자명한 전체 해의 존재성을 확립한다. 국소 리프시츠 함수에 대한 찬의 산맥 렘마를 적용하여, 비임계 성장과 하한이 존재하며 폭발하는 포텐셜 조건 하에서 비자명한 약한 해의 존재성을 증명하며, 라빈비츠의 결과를 부드럽지 않은 프레임워크로 일반화한다.

ABSTRACT

We establish the existence of an entire solution for a class of stationary Schrödinger systems with subcritical discontinuous nonlinearities and lower bounded potentials that blow-up at infinity. The proof is based on the critical point theory in the sense of Clarke and we apply Chang's version of the Mountain Pass Lemma for locally Lipschitz functionals. Our result generalizes in a nonsmooth framework a result of Rabinowitz \cite{rabi} related to entire solutions of the Schrödinger equation.

연구 동기 및 목표

• 비연속 비선형성을 갖는 연관된 슈뢰딩어 타원형 시스템에 대해 전체 해의 존재성을 확립한다.
• 클래식한 슈뢰딩어 방정식의 전체 해에 대한 라빈비츠의 결과를 부드럽지 않은, 비연속적인 설정으로 확장한다.
• 부드럽지 않거나 부호가 결정되지 않은 경우가 아닌, 하한이 존재하고 폭발하는 포텐셜을 갖는 시스템을 분석한다.
• 비선형성이 연속적이지 않은 경우에 변분 방법을 적용하며, 클락의 일반화된 도함수와 비연속 분석을 사용한다.
• 비연속성과 부호가 변화하는 비선형성을 갖는 시스템에 대해, 전체 해의 존재 이론을 임계점 프레임워크 안에서 일반화한다.

제안 방법

• 클락의 일반화된 도함수를 사용하여 국소 리프시츠 함수에 대해 다중값 타원형 시스템으로 문제를 재구성한다.
• 에너지 항과 다중값 비선형성의 적분을 결합한 함수 I를 힐베르트 공간 E 위에 정의한다.
• 국소 리프시츠 함수 I에 대해 비연속 버전의 산맥 렘마(찬의 버전)를 적용한다.
• 팔라이스-스모스 수열을 구성하고, E 내에서 유계임을 보이며, E 내에서 약한 수렴과 L^2_loc 내에서 강한 수렴을 보인다.
• 컴actness 추론과 부분도함수의 구조를 통해 약한 극한 U가 클락의 의미에서 약한 해임을 보장한다.
• 해의 비자명성을 모순에 의해 증명하며, 수열이 L^{p+1}에서 0으로 수렴하지 않음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연속 비선형성과 부호가 변화하는 포텐셜을 갖는 슈뢰딩어 타원형 시스템에 대해 전체 해가 존재하는가?
• RQ2 클래식한 산맥 정리가 비연속적이며 비연속적인 비선형성을 갖는 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 포텐셜과 비선형성에 어떤 조건이 성립할 경우, 변분 프레임워크 내에서 비자명한 전체 해의 존재를 보장하는가?
• RQ4 비선형성이 연속적이지 않을 경우 클락의 일반화된 도함수를 어떻게 사용하여 약한 해를 정의할 수 있는가?
• RQ5 비임계 성장과 폭발 포텐셜 조건 하에서, 비연속 임계점 이론을 통해 구한 해는 비자명한가?

주요 결과

• −Δu₁ + a(x)u₁ ∈ [f̲(x,u₁,u₂), f̄(x,u₁,u₂)] 및 −Δu₂ + b(x)u₂ ∈ [g̲(x,u₁,u₂), ḡ(x,u₁,u₂)] 거의 모든 ℝ^N 에서 성립하는 시스템에 대해 비자명한 전체 해가 존재한다.
• 해 U는 힐베르트 공간 E 내의 팔라이스-스모스 수열의 약한 극한으로 얻어지며, 이 수열은 E 내에서 유계이고 E 내에서 약하게 수렴하며 L^2_loc(ℝ^N) 내에서 강하게 수렴한다.
• 해 U는 클락의 일반화된 도함수의 의미에서 시스템을 만족하며, ℝ^N 거의 모든 곳에서 W(x) ∈ [f̲(x,U), f̄(x,U)] × [g̲(x,U), ḡ(x,U)] 이다.
• 수열 {U_m} 이 L^{p+1}(ℝ^N; ℝ^2) 내에서 0으로 수렴하지 않음을 보여서 해의 비자명성을 확립한다.
• 함수 I는 산맥 기하학과 비연속 팔라이스-스모스 조건을 만족하며, 이는 수열이 임계점으로 수렴함을 보장한다.
• 결과는 비연속 비선형성과 부호가 변화하는 포텐셜을 갖는 시스템에 대해, 라빈비츠의 존재 결과를 비연속 변분 설정으로 일반화한다.