[논문 리뷰] Entire subsolutions of fully nonlinear degenerate elliptic equations

Italo Capuzzo Dolcetta, Fabiana Leoni외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 27.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 22인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^n$ 내에서 $\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) \geq f(u)$ 및 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) \geq f(u)$ 형태의 완전비선형 열화 타입 타원형 부등식에 대해 전체 점근적 병행해석해가 존재하기 위한 킬러-오스어르 조건이 필수적이고도 충분한 조건임을 증명한다. 여기서 $f$ 는 양수이며 연속적이고 비감소함을 가정한다. 증명은 관련된 상미분방정식의 구형 해와의 비교에 기반하며, 고전 결과를 열화 타입 타원형 연산자로 확장한다.

ABSTRACT

We prove existence and non existence results for fully nonlinear degenerate elliptic inequalities, by showing that the classical Keller--Osserman condition on the zero order term is a necessary and sufficient condition for the existence of entire sub solutions.

연구 동기 및 목표

• 완전비선형 열화 타입 타원형 부등식에 대해 전체 점근적 병행해석해의 존재 및 비존재 조건을 규명하는 것.
• $\mathcal{P}^{+}_{k}$ 및 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}$ 와 같은 열화 타입 타원형 연산자로 고전적인 킬러-오스어르 조건을 확장하는 것.
• 영차수 항 $f(u)$ 가 아래로 유계이고 비감소일 경우에도 킬러-오스어르 조건이 여전히 필수적이고도 충분한 조건인지 조사하는 것.
• 열화 헤시안 연산자 맥락에서 흡수되지 않는 양수의 영차수 항을 분석함으로써 문헌의 격차를 메우는 것.
• $f$ 와 $F$ 에 대한 최소한의 구조적 가정 하에서 비존재 결과를 통합하는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 완전비선형 열화 타입 타원형 PDE에 대한 병행해석해 이론의 적용.
• 대칭성과 비교 원리에 기반한 관련 ODE의 해를 통해 구형 병행해석해의 구성.
• 병행해석해와 구형 함수 간의 비교 논증을 통해 필요 및 충분 조건 유도.
• $\mathcal{P}^{+}_{k}$ 및 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}$ 와 같이 등급이 일정하지 않은 타원형 연산자에 고전적인 킬러-오스어르 기법을 적용하는 것.
• $\mathcal{M}^{+}_{0,1}$ 의 최대성 성질을 활용하여 더 넓은 범위의 열화 타입 연산자로 결과를 확장하는 것.
• 문제를 $f$ 에 대한 적분 조건, 특히 $\int_0^{\infty} \left(\int_0^t f(s)\,ds\right)^{-1/2} dt$ 의 수렴 또는 발산 여부로 환원하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $f$ 가 양수이며 연속적이고 비감소일 경우, $\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) \geq f(u)$ 에 대해 킬러-오스어르 조건이 전체 점근적 병행해석해 존재에 필수적이고도 충분한가?
• RQ2 동일한 $f$ 의 조건 하에서, 열화 최대 푸아시 연산자 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) \geq f(u)$ 에 대해서도 동일한 조건이 성립하는가?
• RQ3 흡수되지 않는 영차수 항으로서, 아래로 유계이고 비감소하는 경우에도 킬러-오스어르 조건을 확장할 수 있는가?
• RQ4 주요 부분과 영차수 항에서의 열화가 전체 해의 존재 또는 금지에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비동차 방정식 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) = f(u) - g(x)$ 는 어떤 조건에서 유계 병행해석해를 가질 수 있는가?

주요 결과

• 킬러-오스어르 조건 $\int_0^{\infty} \left(\int_0^t f(s)\,ds\right)^{-1/2} dt = \infty$ 는 $1 \leq k \leq n$ 인 경우 $\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) \geq f(u)$ 에 대해 전체 점근적 병행해석해 존재에 필수적이고도 충분한 조건이다.
• 연산자 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) \geq f(u)$ 에 대해서는, $f$ 가 양수이며 연속적이고 엄격히 증가할 경우 동일한 킬러-오스어르 조건이 전체 점근적 병행해석해 존재에 필수적이고도 충분한 조건이다.
• 조금 더 넓은 조건 하에서, $f$ 가 비감소이고 아래로 유계일 경우에도 조건은 여전히 필수적이다. 이는 $f(t) \geq \tilde{f}(t)$ 를 만족하고 $\tilde{f}$ 가 조건을 만족하는 경우를 포함한다.
• 정리 3.7 은 $\mathcal{M}^{+}_{0,1}(D^2u) = f(u) - g(x)$ 에 대해, $\inf g > \inf f$ 라면 유계 병행해석해가 존재하고, $\sup g \leq \inf f$ 라면 존재하지 않음을 보여준다. 이는 $f$ 에 대한 적분 조건을 만족할 때 성립한다.
• 주요 부분과 영차수 항 모두에서 열화가 존재하더라도 비교 원리가 유지되며, 이는 고전 결과를 열화 설정으로 확장할 수 있도록 한다.
• 비교 원리가 성립함에 따라, $F(x, O) = 0$ 과 타원성 조건을 만족하는 더 넓은 범위의 연산자 $F(x, D^2u)$ 에 대해서도 결과가 확장됨을 보였다(참고 3.8).