[논문 리뷰] Entropic Mechanics

Vitaly Vanchurin|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 13.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 은폐된 보존량을 가진 시스템에서의 확률적 역학을 기술하기 위해 정적 엔트로피 생산 원리를 제안하며, 문제를 시간에 따라 변하는 라그랑주 승수를 포함하는 변분 프레임워크로 변환한다. 전이 행렬이 대칭이거나 상세 평형 조건이 만족되고, 시스템이 평형에 가까우며 보존량이 많을 경우, 역학은 라그랑주 승수가 위상처럼 작용하는 슈뢰딩거 방정식을 따르게 된다.

ABSTRACT

We consider a stochastic process which is (a) described by a continuous-time Markov chain on only short time-scales and (b) constrained to conserve a number of hidden quantities on long time-scales. We assume that the transition matrix of the Markov chain is given and the conserved quantities are known to exist, but not explicitly given. To study the stochastic dynamics we propose to use the principle of stationary entropy production. Then the problem can be transformed into a variational problem for a suitably defined action and with time-dependent Lagrange multipliers. We show that the stochastic dynamics can be described by a Schrodinger equation, with Lagrange multipliers playing the role of phases, whenever (a) the transition matrix is symmetric or the detailed balance condition is satisfied, (b) the system is not too far from the equilibrium and (c) the number of the conserved quantities is large.

연구 동기 및 목표

• 장기간에 걸친 보존량이 은폐된 확률적 과정을 엔트로피 생산 원리를 이용해 기술하기 위해.
• 연속 시간 마르코프 체인에서 보존량의 명시적 형태가 알려져 있지 않은 문제를 다루기 위해.
• 제약 조건을 이행하기 위한 시간에 따라 변하는 라그랑주 승수를 포함하는 변분 공식을 유도하기 위해.
• 결과로 얻어진 역학이 슈뢰딩거 방정식으로 기술될 수 있는 조건을 설정하기 위해.
• 대칭성, 평형에 가까운 행동, 그리고 보존량의 수가 양자 유사 역학의 발생에 미치는 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 정적 엔트로피 생산 원리를 적용하여 확률적 역학의 변분 공식을 유도한다.
• 변분 작용에서 은폐된 양의 보존을 이행하기 위해 시간에 따라 변하는 라그랑주 승수를 도입한다.
• 전이 행렬 역학과 제약 조건 항을 결합한 적절히 구성된 작용 함수를 정의한다.
• 작용에서 유도된 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 확률적 진화 방정식을 도출한다.
• 전이 행렬의 대칭성 또는 상세 평형 조건을 가정하여 역학을 단순화한다.
• 평형에 가까운 조건과 많은 수의 보존량이 존재할 경우, 역학이 위상 유사 라그랑주 승수를 가진 슈뢰딩거 방정식으로 감소함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 은폐된 보존량을 가진 확률적 과정의 역학이 언제 슈뢰딩거 방정식으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 정적 엔트로피 생산 원리는 제약 조건이 있는 확률적 역학에 대한 변분 공식 유도를 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ3 보존량의 형태가 명시적으로 알려져 있지 않을 경우, 시간에 따라 변하는 라그랑주 승수는 보존 법칙 이행에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 전이 행렬의 대칭성 또는 상세 평형 조건은 양자 유사 역학의 발생에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 보존량의 수와 평형에 가까운 정도가 슈뢰딩거 방정식 기술 가능성을 결정하는 데 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 전이 행렬이 대칭이거나 상세 평형 조건을 만족할 경우, 확률적 역학은 슈뢰딩거 방정식으로 기술될 수 있다.
• 변분 공식에서의 라그랑주 승수는 양자역학에서 위상과 유사한 역할을 한다.
• 이 유도는 시스템이 평형에서 너무 멀리 떨어져 있지 않은 조건에서 성립한다.
• 슈뢰딩거 방정식 기술이 나타나기 위해서는 보존량의 수가 많아야 한다.
• 변분적 접근은 제약 조건이 있는 확률적 역학을 해석 가능한 작용 기반 프레임워크로 성공적으로 변환한다.
• 정적 엔트로피 생산 원리는 은폐된 보존 법칙이 있는 장기간의 역학을 모델링하는 데 일관되고 효과적인 방법을 제공한다.