[논문 리뷰] Entropic repulsion for the occupation-time field of Random interlacements conditioned on disconnection

Alberto Chiarini, Maximilian Nitzschner|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 24.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 36인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Z^d (d ≥ 3)에서의 랜덤 상호작용의 점유시간 프로파일에 대해, 큰 상자 경계로부터 밀도가 높은 컴팩트 집합 A의 이산 확대체가 분리되는 것으로 조건화되었을 때의 渐近적 대 deviations 상한을 설정한다. 유의미한 치명적 투과 수준의 일치가 가정될 경우, 분리 조건화는 엔트로피적 반발 효과를 유도하며, 이는 지역 점유시간 프로파일을 (√u + (√u* − √u)h_A(x/N))²에 비례하는 함수로 밀어낸다. 여기서 h_A는 A의 조화 잠재력이다. 이는 가우시안 자유 장에서 관찰된 유사한 엔트로피적 반발 현상과 유사하며, 기울인 상호작용가가 분리 최적 전략으로 자연스럽게 나타나야 한다는 추가적 증거를 제공한다.

ABSTRACT

We investigate percolation of the vacant set of random interlacements on $\mathbb{Z}^d$, $d\geq 3$, in the strongly percolative regime. We consider the event that the interlacement set at level $u$ disconnects the discrete blow-up of a compact set $A\subseteq \mathbb{R}^d$ from the boundary of an enclosing box. We derive asymptotic large deviation upper bounds on the probability that the local averages of the occupation times deviate from a specific function depending on the harmonic potential of $A$, when disconnection occurs. If certain critical levels coincide, which is plausible but open at the moment, these bounds imply that conditionally on disconnection, the occupation-time profile undergoes an entropic push governed by a specific function depending on $A$. Similar entropic repulsion phenomena conditioned on disconnection by level-sets of the discrete Gaussian free field on $\mathbb{Z}^d$, $d \geq 3$, have been obtained by the authors in arxiv:1808.09947. Our proofs rely crucially on the `solidification estimates' developed in arXiv:1706.07229 by A.-S. Sznitman and the second author.

연구 동기 및 목표

• Z^d (d ≥ 3)에서의 랜덤 상호작용 점유시간 장의 행동을 분석하며, 이는 컴팩트 집합 A의 이산 확대체가 큰 상자 경계로부터 분리되는 것으로 조건화되었을 때이다.
• A의 조화 잠재력에 의해 결정되는 프로파일에서의 국소 점유시간 평균의 편차에 대한 渐近적 대 deviations 상한을 유도한다.
• 분리 조건화가 가우시안 자유 장에서 관찰된 현상과 유사한 엔트로피적 밀림 효과를 점유시간 프로파일에 유도하는지 조사한다.
• 이전에 분리 확률의 하한을 구성하는 데 사용된 기울인 상호작용가가 실제로 분리가 발생할 때의 일반적인 구성으로 자연스럽게 나타나는지에 대한 증거를 제공한다.

제안 방법

• Sznitman과 Nitzschner가 [17]에서 개발한 '고체화 추정' 기법을 사용하여 渐近적 대 deviations 상한을 유도한다. 이 기법은 변형에 대한 이산 집합의 용량을 통제한다.
• 공간적 프로파일을 연구하기 위해 정규화된 점유시간 측도 LN,u = 1/N^d ∑_{x∈Z^d} Lx,u δ_{x/N}을 도입한다.
• empirical 점유시간 측도와 목표 프로파일 Mu^A(x) = (√u + (√u* − √u)h_A(x))² 사이의 거리 dR(LN,u, Mu^A)를 정의한다. 여기서 h_A는 A의 조화 잠재력이다.
• 편차 확률를 통제하기 위해 커플링 추론과 이산 용량 및 브라운 운동 용량 간의 용량 비교를 사용한다.
• 지역적으로 강도를 u*∗로 증가시키는 기울인 상호작용가를 통한 측도 변화 기법을 적용하여 분리 메커니즘을 모델링한다.
• 이산 용량과 브라운 운동 용량 간의 비교를 편미분 및 스케일링 추정을 통해 수행하여 이산 집합 용량과 그 연속적 채움 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 집합 A가 큰 상자 경계로부터 분리되는 것으로 조건화되었을 때, 국소 점유시간 프로파일에 체계적인 이동이 발생하는가?
• RQ2 이전에 기울인 상호작용가로 모델링된 분리 최적 전략이 조건화 하에서 일반적인 행동으로 엄밀히 정당화될 수 있는가?
• RQ3 분리가 발생할 경우 점유시간 프로파일의 渐近적 행동은 무엇이며, 이는 집합 A의 조화 잠재력에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 엔트로피적 반발 효과가 정량적으로 정확해지기 위한 치명적 투과 수준 u, u*, u**에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ5 목표 프로파일 Mu^A에서의 점유시간 프로파일 편차 비용이 분리 사건의 대 deviations 비용과 일관한가?

주요 결과

• 논문은 渐近적 대 deviations 상한을 설정한다: lim sup_N (1/N^{d-2}) log P[dR(LN,u, Mu^A) ≥ Δ; Du_N] ≤ −1/d(√u* − √u)^2 cap(˚A) − c1(Δ, R, A, u), 여기서 c1(Δ, R, A, u) ∼ c2(Δ, R, A)√u (u → 0 일 때).
• 비판적 수준이 u = u* = u** 이고 cap(A) = cap(˚A)일 경우, N → ∞ 일 때 조건부 점유시간 측도 LN,u는 Mu^A에 법적으로 수렴한다. 이는 엔트로피 반발으로 인한 결정론적 이동을 나타낸다.
• 엔트로피 반발 효과는 국소적으로 점유시간 프로파일을 증가시키며, (√u + (√u* − √u)h_A(x/N))²로 이동시켜 A 근처에서 더 높은 효과적 상호작용 수준을 유도한다.
• 목표 프로파일 Mu^A에서의 편차 비용은 u → 0 일 때 사라지는 항으로 하한이 정량적으로 유계이므로, 기울인 상호작용 전략이 희귀 사건 영역에서 최적화됨을 시사한다.
• 가우시안 자유 장에서의 엔트로피 반발과 랜덤 상호작용에서의 엔트로피 반발 간의 유사성을 확장하며, 희귀 분리 사건에 대한 조건화의 보편적 메커니즘을 시사한다.
• 증명은 고체화 추정과 이산 용량 및 브라운 운동 용량 간의 용량 비교에 크게 의존하며, 특히 cap(Γ(r))/cap(Γ)에 대한 균일한 경계가 (1 ± δK,L)(1 ± 2r)^{d−2} 스케일링을 따른다.