[논문 리뷰] Entropy along expanding foliations

Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 21.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 25인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 미분형사의 C¹ 섭동, 불변 측도(약* 위상), 그리고 분할에 대해 확장 분할을 沿한 부분 엔트로피의 상반연속성을 확립한다. 불안정 분할을 따라 메트릭 엔트로피가 상반연속적으로 변하는 것을 증명함으로써, 핵심 결과를 이끌어낸다: 갈리브스 u-측도의 집합은 C¹ 위상에서 상반연속적이다. 중심 방향이 대부분 확장되거나 수축하는 부분하이퍼볼릭 미분형사는 C¹ 열린 집합이며, 비영인 중심 지수를 가진 새로운 C² 체적보존 미분형사들이 구성된다.

ABSTRACT

The (measure-theoretical) entropy of a diffeomorphism along an expanding invariant foliation is the rate of complexity generated by the diffeomorphism along the leaves of the foliation. We prove that this number varies upper semi-continuously with the diffeomorphism ($\C^1$ topology), the invariant measure (weak* topology) and the foliation itself in a suitable sense. This has several important consequences. For one thing, it implies that the set of Gibbs $u$-states of $\C^{1+}$ partially hyperbolic diffeomorphisms is an upper semi-continuous function of the map in the $\C^1$ topology. Another consequence is that the sets of partially hyperbolic diffeomorphisms with mostly contracting or mostly expanding center are $\C^1$ open. New examples of partially hyperbolic diffeomorphisms with mostly expanding center are provided, and the existence of physical measures for $C^1$ residual subset of diffeomorphisms are discussed. We also provide a new class of robustly transitive diffeomorphisms: every $C^2$ volume preserving, accessible partially hyperbolic diffeomorphism with one dimensional center and non-vanishing center exponent is $C^1$ robustly transitive (among neighborhood of diffeomorphisms which are not necessarily volume preserving).

연구 동기 및 목표

• 미분형사의 C¹ 섭동에 대해 확장 분할을 따라 메트릭 엔트로피의 상반연속성을 확립한다.
• 부분하이퍼볼릭 시스템에서 불변 확장 분할을 가진 맥락에서 부분 엔트로피의 정규성을 분석한다.
• 정규성 결과를 적용하여 중심 방향이 대부분 확장되거나 수축하는 미분형사들의 집합이 열린다는 것을 증명한다.
• 비영인 중심 지수를 가진 C² 체적보존 가능성이 있는 부분하이퍼볼릭 미분형사에 대해 강력한 전이성을 확립한다.
• 대부분 중심이 확장되는 새로운 부분하이퍼볼릭 미분형사의 예를 제공하고, C¹ 잔여 미분형사에 대한 물리적 측도를 논의한다.

제안 방법

• 하위 측정 분할 이론을 사용하여 확장 분할을 따라 부분 엔트로피를 정의하고 분석한다.
• 차원 이론과 페신 엔트로피 공식을 적용하여 잎사귀 위에서 측도론적 복잡성의 성장을 통제한다.
• 불변 측도의 약* 수렴과 미분형사의 C¹ 수렴을 사용하여 엔트로피의 상반연속성을 확립한다.
• 불안정 잎사귀를 따라 절대 연속 분해를 가진 측도인 갈리브스 u-측도의 개념을 사용하여 엔트로피 정규성과 통계적 성질을 연결한다.
• 페신 이론의 레미네이션(레미네이션 A.1)의 수정된 버전을 사용하여 작은 구 안에서 측도 감쇠를 통제함으로써 양호한 분할의 구성이 가능해진다.
• 엔트로피 정규성과 에르고딕 분해 및 범위 논증을 조합하여 중심 행동이 확장되지 않을 경우 모순을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분형사의 C¹ 섭동에 대해 확장 분할을 따라 부분 엔트로피가 상반연속적으로 변하는가?
• RQ2 C¹+ 부분하이퍼볼릭 미분형사에 대해 갈리브스 u-측도의 집합은 C¹ 위상에서 상반연속적인가?
• RQ3 C¹ 미분형사들 중 중심 방향이 대부분 수축하거나 대부분 확장하는 집합은 열린가?
• RQ4 대부분 중심이 확장되는 새로운 부분하이퍼볼릭 미분형사의 예를 구성할 수 있는가?
• RQ5 C¹ 잔여 미분형사들은 물리적 측도를 가지며, 이 경우 부분 엔트로피의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 확장 분할을 따라 부분 엔트로피는 미분형사의 C¹ 수렴, 불변 측도의 약* 수렴, 그리고 정의 2.2의 의미에서 분할 수렴에 대해 상반연속적이다.
• C¹+ 부분하이퍼볼릭 미분형사의 갈리브스 u-측도 집합은 C¹ 위상에서 상반연속적이다.
• 중심 방향이 대부분 수축하거나 대부분 확장하는 C¹ 미분형사들의 집합은 C¹ 위상에서 열려 있다.
• 대부분 중심이 확장되는 새로운 부분하이퍼볼릭 미분형사의 예가 구성되었으며, 기존의 클래스를 확장한다.
• 차원이 1인 중심과 비영인 중심 지수를 가진 C² 체적보존 가능성이 있는 부분하이퍼볼릭 미분형사는 체적보존을 지역적으로 가정하지 않더라도 C¹으로 강력하게 전이적이다.
• 엔트로피 정규성과 에르고딕 분해 논증의 결과로, C¹ 잔여 부분집합의 모든 미분형사에 대해 물리적 측도가 존재한다.