[논문 리뷰] Entropy and Emergence of Topological Dynamical Systems

Yong Gu Ji, Ercai Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확률측도 공간과 컴act부분집합의 하이퍼공간 위에서 유도된 위상동역학계에 대한 엔트로피 순서(entropic order)의 개념을 도입하고, 원래 시스템의 위상엔트로피와 동일하다는 것을 증명한다. 또한 불변 측도의 엔트로피 순서와 메트릭 엔트로피 사이의 변분원리(variational principle)를 확립하여, 유도계의 복잡성이 원래 시스템의 역학을 정량적으로 반영함을 보여준다.

ABSTRACT

A topological dynamical system $(X,f)$ induces two natural systems, one is on the probability measure spaces and other one is on the hyperspace. We introduce a concept for these two spaces, which is called entropy order, and prove that it coincides with topological entropy of $(X,f)$. We also consider the entropy order of an invariant measure and a variational principle is established.

연구 동기 및 목표

• Borel 확률측도 공간과 컴 pact부분집합의 하이퍼공간 위에서 유도계의 엔트로피 순서를 정의하고 분석하는 것.
• 불변 측도의 엔트로피 순수와 그 메트릭 엔트로피 사이의 변분원리를 설정하는 것.
• 원래 시스템의 복잡성과 그 유도계 사이의 정량적 관계, 특히 위상엔트로피 측면에서의 관계를 명확히 하는 것.
• 유도계의 엔트로피 순서가 원래 시스템의 위상엔트로피와 정확히 일치함을 보여주어 이전의 정성적 연구에서의 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 약한*-위상에서의 에르고딕 불변 측도 집합을 덮기 위해 필요한 ε-공의 최소 개수의 증가율로 시스템의 엔트로피 순서를 정의한다.
• 이전 연구에서 도입된 메트릭 기원(Metric emergence)과 위상 기원( Topological emergence) 개념을 활용하여, 𝒫(X) 및 𝒦(X) 위에서의 유도계에 대한 엔트로피 순서를 정의한다.
• 위상엔트로피의 변분원리를 적용하여, 불변 측도의 엔트로피 순서를 그 측도론적 엔트로피와 연결한다.
• 에르고딕 이론의 결과, 특히 에르고딕 분해 정리와 최대 차원을 가진 불변 측도의 성질을 활용한다.
• 주기점과 궤도집합을 이용한 분리 및 덮개 논증을 통해 엔트로피 순서의 하한을 구한다.
• 동역학계 이론과 차원 이론에서 유도된 상한과 하한을 바탕으로 엔트로피 순서와 위상엔트로피의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률측도 공간 위에서 유도된 시스템의 엔트로피 순서는 원래 시스템의 위상엔트로피와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 불변 측도의 엔트로피 순서와 그 메트릭 엔트로피 사이에 변분원리를 설정할 수 있는가?
• RQ3 하이퍼공간 위에서 유도된 시스템의 엔트로피 순서는 원래 시스템의 위상엔트로피와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 등각적 확장 동역학 또는 양의 엔트로피 시스템과 같은 조건 하에서 엔트로피 순서는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 유도계의 엔트로피 순서는 원래 동역학계의 내재된 복잡성 정도를 어느 정도 반영하는가?

주요 결과

• 확률측도 공간 위에서 유도된 시스템의 엔트로피 순서 ℰ(f_M)은 원래 시스템의 위상엔트로피와 동일하다: ℰ(f_M) = h_top(X,f).
• 하이퍼공간 위에서 유도된 시스템의 엔트로피 순서 ℰ(f_K) 역시 원래 시스템의 위상엔트로피와 동일하다: ℰ(f_K) = h_top(X,f).
• 변분원리가 확립되었다: 불변 측도 μ의 엔트로피 순서는 그 메트릭 엔트로피와 같다. 즉, ℰ(μ) = h_μ.
• 박자 차원이 b인 등각적 확장 리파일러 Λ에 대해, 𝒦(Λ) 위에서 유도된 시스템의 엔트로피 순서는 lim_{ε→0} log log N(ε) / (-log ε) = b 를 만족한다.
• m개의 기호로 이루어진 전형적 시프레션 성질을 가진 풀시프트의 경우, 일반 궤도의 점별 엔트로피 순서는 위상엔트로피와 동일한 비율로 증가한다.
• 하이퍼공간 위에서 유도된 시스템의 엔트로피 순서는 기저 집합의 박자 차원에 의해 상한으로 제한되며, 이 상한은 등각적 확장 시스템에 대해 정확하다.