[논문 리뷰] Entropy-bounded solutions to the compressible Navier-Stokes equations: with far field vacuum

Jinkai Li, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 18.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 외부 영역에서 진공만 존재할 경우, 유한한 엔트로피를 가진 1차원 완전 압축성 나비에-스토크스 방정식에 대한 강한 해의 국소적이고 전역적인 존재성 및 유일성을 확립한다. 초기 밀도가 충분히 천천히 감쇠할 경우 엔트로피가 균일하게 유계로 유지됨을 증명하여, 비균일한 스오볼레프 공간으로의 정칙성 전파를 외부 진공 조건이 존재하는 경우에도 확장한다.

ABSTRACT

The entropy is one of the fundamental states of a fluid and, in the viscous case, the equation that it satisfies is highly singular in the region close to the vacuum. In spite of its importance in the gas dynamics, the mathematical analyses on the behavior of the entropy near the vacuum region, were rarely carried out; in particular, in the presence of vacuum, either at the far field or at some isolated interior points, it was unknown if the entropy remains its boundedness. The results obtained in this paper indicate that the ideal gases retain their uniform boundedness of the entropy, locally or globally in time, if the vacuum occurs at the far field only and the density decays slowly enough at the far field. Precisely, we consider the Cauchy problem to the one-dimensional full compressible Navier-Stokes equations without heat conduction, and establish the local and global existence and uniqueness of entropy-bounded solutions, in the presence of vacuum at the far field only. It is also shown that, different from the case that with compactly supported initial density, the compressible Navier-Stokes equations, with slowly decaying initial density, can propagate the regularities in the inhomogeneous Sobolev spaces.

연구 동기 및 목표

• 점성 압축성 유동에서 진공 영역 근처에서 엔트로피가 유계로 유지되는지 여부라는 오랜 열린 문제를 다루는 것.
• 특히 공간 무한대에서 밀도가 천천히 감쇠할 경우 진공 존재 조건 하에서 엔트로피의 거동을 분석하는 것.
• 1차원 완전 압축성 나비에-스토크스 방정식에 대해 엔트로피가 유계인 강한 해의 존재성 및 유일성을 확립하는 것.
• 초기 밀도가 컴act 지지가 없고 천천히 감쇠할 경우 비균일한 스오볼레프 공간에서 정칙성이 어떻게 전파되는지 조사하는 것.
• 특히 외부 진공 조건이 존재하는 경우, 초기 자료가 컴 pact 지지를 가지지 않는 경우에도 강한 해 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 열전도 없이 1차원 완전 압축성 나비에-스토크스 방정식의 초기값 문제를 수립하는 것.
• 기브스 관계와 푸리에 법칙에서 유도된 엔트로피 방정식을 사용하여, 특히 진공 근처에서 엔트로피의 진화를 추적하는 것.
• 초기 밀도를 포함하는 가중치를 사용하여 비균일한 스오볼레프 공간에서 가중 에너지 추정을 적용하여 특이점을 제어하는 것.
• 에너지 추정과 그로워랄 유형 부등식을 통해 엔트로피 및 그 도함수에 대한 사전 추정을 확립하는 것.
• 국소 존재성과 균일한 유계성에 기반한 계속성 추론을 사용하여 해를 시간에 대해 전역적으로 연장하는 것.
• 엔트로피의 유계성을 이용한 부스팅 추론을 통해 비균일한 스오볼레프 노름에서 정칙성을 전파하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 진공만 존재할 경우, 압축성 나비에-스토크스 방정식의 해에서 엔트로피가 시간에 따라 균일하게 유계로 유지될 수 있는가?
• RQ2 초기 밀도 감쇠 속도에 어떤 조건이 성립해야 엔트로피가 시간에 따라 유계로 유지되는가?
• RQ3 외부 진공 존재 시 비균일한 스오볼레프 공간에서 정칙성 전파가 방해받는가?
• RQ4 엔트로피 방정식의 구조가 진공 근처에서 해의 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 천천히 감쇠하는 밀도 조건 하에서 완전 압축성 나비에-스토크스 시스템에 대해 엔트로피가 유계인 전역 강한 해를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 초기 밀도가 공간 무한대에서 충분히 천천히 감쇠할 경우, 외부 진공 조건이 존재하더라도 엔트로피가 시간에 따라 균일하게 유계로 유지된다.
• 이 조건 하에서 1차원 완전 압축성 나비에-스토크스 방정식에 대해 엔트로피가 유계인 강한 해의 전역 존재성 및 유일성이 확립된다.
• 초기 밀도가 비콤팩트 지지를 가지며 천천히 감쇠할 경우에도 해는 비균일한 스오볼레프 공간에서 정칙성을 전파한다.
• 엔트로피의 유계성은 엔트로피 방정식과 초기 밀도의 천천히 감쇠하는 성질 간의 상호작용으로 인해 유지되며, 엔트로피 기울기의 폭발을 방지한다.
• 초기 밀도를 포함하는 가중 노름에서의 사전 추정은 해가 정칙성을 유지하고 시간에 대해 전역적으로 연장될 수 있음을 보장한다.
• 해가 유한 시간 이내에 폭발할 수 없다는 가정에 반박하기 위해, 엔트로피 및 그 도함수의 균일한 유계성에 기반한 계속성 추론에 의존한다.