[논문 리뷰] Entropy estimates for a class of schemes for the euler equations

Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 05.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 내부 에너지 기반 이산화와 속도 기반 업윈딩을 사용하는 유한체적 스킴의 클래스에 대해 이산 엔트로피 추정을 수립한다. $L^\infty$ 및 BV 노름에서의 유계성 조건 하에서 엔트로피 부등식이 공간 및 시간 스텝이 0으로 갈수록 사라지는 나머지 항을 포함하여 만족됨을 증명하며, 이는 엔트로피를 만족하는 약한 해로의 수렴을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper, we derive entropy estimates for a class of schemes for the Euler equations which present the following features: they are based on the internal energy equation (eventually with a positive corrective term at the righ-hand-side so as to ensure consistency) and the possible upwinding is performed with respect to the material velocity only. The implicit-in-time first-order upwind scheme satisfies a local entropy inequality. A generalization of the convection term is then introduced, which allows to limit the scheme diffusion while ensuring a weaker property: the entropy inequality is satisfied up to a remainder term which is shown to tend to zero with the space and time steps, if the discrete solution is controlled in L $\infty$ and BV norms. The explicit upwind variant also satisfies such a weaker property, at the price of an estimate for the velocity which could be derived from the introduction of a new stabilization term in the momentum balance. Still for the explicit scheme, with the above-mentioned generalization of the convection operator, the same result only holds if the ratio of the time to the space step tends to zero.

연구 동기 및 목표

• 압축성 올리브 방정식을 푸는 전적으로 이산적인 유한체적 스킴의 클래스에 대해 이산 엔트로피 부등식을 유도하기 위해.
• 내부 에너지 방정식에 보정 항을 포함한 스킴의 일致성 및 안정성을 분석하기 위해.
• 이산 엔트로피 부등식이 메쉬 및 시간 스텝이 0으로 갈수록 사라지는 나머지 항까지 성립하는 조건을 확립하기 위해.
• 암시적 및 명시적 스킴 모두에 대해 엔트로피 안정성 분석을 다차원 설정으로 확장하기 위해.
• 운동량 방정식의 안정화 항이 속도 노름을 제어하고 엔트로피를 만족하는 극한으로의 수렴을 보장하는 데서의 역할을 조사하기 위해.

제안 방법

• 일致성을 유지하기 위해 양의 보정 항을 포함한 내부 에너지 방정식을 사용하여 올리브 체계를 수립한다.
• 모든 변수에 대한 전면 업윈딩을 피하고, 유동 속도에 대해서만 업윈딩을 적용한다.
• 수치적 확산을 줄이면서도 엔트로피 관련 성질을 유지하기 위해 일반화된 대류 연산자를 도입한다.
• 이산 해의 $L^\infty$ 및 BV 노름에 의존하는 나머지 항을 포함한 이산 엔트로피 부등식을 유도한다.
• 시간 암시적 또는 시간 명시적 스킴을 사용하며, 안정성은 CFL 조건 및 유계 조건에 의해 보장된다.
• 속도 노름을 제어하고 나머지 항의 감쇠를 보장하기 위해 운동량 방정식에 안정화 항(예: $h_{\mathcal{M}}^\alpha \Delta_q u_i$)을 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전적으로 이산적인 유한체적 스킴이 올리브 방정식을 풀 때, 나머지 항을 포함한 이산 엔트로피 부등식이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 공간 및 시간 스텝이 0으로 갈수록 엔트로피 부등식의 나머지 항은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 $L^q(0,T;W^{1,q}_{\mathcal{M}})$에서의 속도 노름은 나머지 항이 사라지도록 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 운동량 방정식의 안정화 항을 어떻게 설계하여 해의 과도한 확산 없이도 나머지 항이 사라지도록 할 수 있는가?
• RQ5 제안된 스킴을 산업용 CFD 소프트웨어(예: CALIF3S)에서 사용되는 다른 플럭스 분할 스킴으로 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 암시적 1차 업윈드 스킴은 나머지 없이 국소적인 이산 엔트로피 부등식을 만족한다.
• 일반화된 대류 스킴의 경우, 이산 해가 $L^\infty$ 및 BV 노름에서 유계일 경우, 나머지 항이 $h_{\mathcal{M}} \to 0$ 및 $\delta t \to 0$일 때 0으로 수렴하므로 엔트로피 부등식이 성립한다.
• 명시적 스킴의 경우, 비율 $\delta t / \underline{h}_{\mathcal{M}} \to 0$이거나 $L^q(0,T;W^{1,q}_{\mathcal{M}})$에서의 속도 노름이 제어될 경우 나머지 항이 사라진다.
• 운동량 방정식에 형태 $h_{\mathcal{M}}^\alpha \Delta_q u_i$의 안정화 항을 포함하면 속도 노름을 제어할 수 있으며, 나머지 항의 감쇠를 확보하기 위해 $\alpha < q-1$이 필요하다.
• 명시적 스킴의 나머지 추정은 $C C_{\mathcal{M}} M^{(2p-1)/p} |\varphi''|_\infty \|\rho\|_{\mathcal{T},t,BV}^{1/p} \|\mathbf{u}\|_{L^q(0,T;W^{1,q}_{\mathcal{M}})} \delta t^{1/p}$로 유계되며, 여기서 $1/p + 1/q = 1$이다.
• 나머지 항이 사라질 경우, $L^\infty$ 및 BV 안정성 조건 하에서 해가 약한 엔트로피 해로 수렴함을 분석이 뒷받침한다. 이는 적절한 안정화 또는 메쉬-시간 비율 제어에 의해 보장된다.