[논문 리뷰] Entropy-expansiveness for partially hyperbolic diffeomorphisms

Todd Fisher, Lorenzo J. Díaz외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 8인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 안정, 중심, 불안정 분해가 일차원 중심 벡터다발로 분해된 컴팩트한 $E^s \oplus E_1 \oplus \cdots \oplus E_k \oplus E^u$ 불변 집합 위에서 부분적으로 초구형 미분동형사상이 엔트로피-확장성임을 증명한다. 증명은 안정 및 불안정 다발을 따라 제어된 역학과, 지배적 분해 하에서의 지속적 동형접선의 부재에 기반하며, 이러한 시스템이 주된 기호적 확장을 갖는다거나 평형 상태를 갖는다는 결론을 이끌어낸다.

ABSTRACT

We show that diffeomorphisms with a dominated splitting of the form $E^s\oplus E^c\oplus E^u$, where $E^c$ is a nonhyperbolic central bundle that splits in a dominated way into 1-dimensional subbundles, are entropy-expansive. In particular, they have a principal symbolic extension and equilibrium states.

연구 동기 및 목표

• 지배적 분해가 일차원 중심 부분다발으로 이루어진 부분적으로 초구형 미분동형사상에 대해 엔트로피-확장성을 확립하는 것.
• 균일 초구형 및 표면 시스템에 대한 기존 엔트로피-확장성 결과를 지배적 분해 하에서 고차원 중심 방향으로 확장하는 것.
• 비균일 초구형 환경에서 주된 기호적 확장과 평형 상태의 존재를 위한 충분조건을 제공하는 것.
• 지배적 분해와 동형접선의 부재가 엔트로피-확장성을 보장하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하는 것.
• $C^2$ 미분동형사상이 기호적 확장을 갖는다는 추측을 해결하기 위해, 엔트로피-확장성을 보장하는 구조적 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 지도의 반복에 대해 작은 구의 역상의 교차를 통해 엔트로피-확장성의 개념을 활용하는 것.
• 안정, 중심, 불안정 다발 간의 상대적 팽창 및 수축 비율을 제어하기 위해 지배적 분해 개념을 적용하는 것.
• 중간 안정 및 불안정 다발을 따라 점들을 재귀적으로 구성하여 거리 변화를 추적하고 비자명한 교차를 탐지하는 것.
• 일차원 중심 다발의 구조로 인해 지속적 동형접선이 존재하지 않음을 보장함으로써 엔트로피 비확장성의 가능성을 차단하는 것.
• 지역적 곱 구조와 미분동형사상의 동역학에서의 제어된 왜곡을 포함한 기하학적 추론을 적용하는 것.
• 주요 정리로부터 추론을 도출하기 위해 [DN]과 [BFF]의 기호적 확장과 평형 상태에 관한 결과를 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지배적 분해에서 어떤 조건이 부분적으로 초구형 미분동형사상의 엔트로피-확장성을 보장하는가?
• RQ2 전체 중심 다발이 고차원이더라도 중심 다발이 일차원 부분다발으로 분해될 경우 엔트로피-확장성이 보장될 수 있는가?
• RQ3 이러한 시스템에서 지속적 동형접선이 존재하지 않는다는 것은 엔트로피-확장성을 암시하는가?
• RQ4 지배적 분해의 구조는 어떤 정도까지 변형에 의한 비확장 행동의 생성을 방지하는가?
• RQ5 비균일 초구형 시스템에서 엔트로피-확장성을 이용하여 주된 기호적 확장과 평형 상태의 존재를 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $E_i$ 가 일차원일 때, $\Lambda$ 가 지배적 분해 $E^s \oplus E_1 \oplus \cdots \oplus E_k \oplus E^u$ 를 갖는 한 $f|_{\Lambda}$ 는 엔트로피-확장성임이 보장된다.
• 안정 다발 $E^s$ 또는 불안정 다발 $E^u$ 가 자명할 경우에도 결과가 성립하며, 이는 강력한 안정 또는 불안정 방향이 없는 부분적으로 초구형 시스템에도 적용됨을 의미한다.
• 일차원 중심 다발의 구조로 인해 지속적 동형접선이 존재하지 않음을 보장함으로써 엔트로피-확장성이 보장된다.
• 결과적으로 $f|_{\Lambda}$ 는 엔트로피 구조를 유지하는 주된 기호적 확장을 갖는다.
• 임의의 연속 잠재력 $\varphi$ 에 대해 시스템 $f|_{\Lambda}$ 는 적어도 하나의 평형 상태를 갖는다.
• 결과는 날카롭다는 의미에서, 차원 $\geq 2$ 인 비초구형이고 분해 불가능한 중심 다발을 갖는 $C^1$-일반적인 미분동형사상은 엔트로피-확장성이 아님을 보여, 일차원 중심 다발 조건이 필수적임을 시사한다.