[논문 리뷰] Entropy of Bernoulli convolutions and uniform exponential growth for linear groups

Emmanuel Breuillard, Péter P. Varjú|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 14.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 59인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 수론의 레이머 추측과 선형군에 대한 균일한 지수적 성장 추측 사이에 깊은 등가성을 확립한다. 대수적 λ에 대해 x ↦ λx ± 1로 생성되는 애파인 세미군 위에서의 랜덤 워크의 엔트로피를 분석함으로써, 저자들은 엔트로피 hλ가 Mλ의 상수배 이상으로 바운드됨을 증명한다. 여기서 Mλ는 λ의 마할 측도이다. 이는 베르누이 복합체의 차원과 군의 성장률을 연결하며, Mλ가 1에 가까우지 않은 한, 대수적 λ가 1에 가까울 경우 dim µλ = 1임을 보여주며, 이는 성장 추측을 레이머의 추측으로 환원한다.

ABSTRACT

The exponential growth rate of non polynomially growing subgroups of $GL_d$ is conjectured to admit a uniform lower bound. This is known for non-amenable subgroups, while for amenable subgroups it is known to imply the Lehmer conjecture from number theory. In this note, we show that it is equivalent to the Lehmer conjecture. This is done by establishing a lower bound for the entropy of the random walk on the semigroup generated by the maps $x\mapsto \lambda\cdot x\pm 1$, where $\lambda$ is an algebraic number. We give a bound in terms of the Mahler measure of $\lambda$. We also derive a bound on the dimension of Bernoulli convolutions.

연구 동기 및 목표

• 선형군에 대한 레이머 추측과 균일한 지수적 성장 추측 사이의 등가성을 확립한다.
• 대수적 λ에 대해 x ↦ λx ± 1로 생성되는 세미군 위에서의 랜덤 워크 엔트로피에 대한 하한을 제공한다.
• 마할 측도 Mλ에 대한 표현으로서 베르누이 복합체 측도 µλ의 차원에 대한 경계를 유도한다.
• 레이머 추측 하에 대수적 λ ∈ (1−ε, 1)에 대해 dim µλ = 1임을 보이며, 전적으로 조건 없는 충분 조건을 제시한다.
• 유한 생성 선형군의 성장률 ρS가 대수적 λ이며 원단위근이 아닌 경우 log Mλ의 상수배 이상으로 바운드됨을 보여준다.

제안 방법

• Hochman의 정리를 활용하여 x ↦ λx ± 1로 생성되는 세미군 위에서의 랜덤 워크 엔트로피 hλ와 베르누이 복합체 측도 µλ의 차원을 연결한다.
• 양방향 바운드 c·min{1, log Mλ} ≤ hλ ≤ min{1, log Mλ}를 엔트로피 및 측도 이론적 기법을 사용해 확립한다. 여기서 c > 0은 절대 상수이다.
• 정수에 값을 갖는 더 일반적인 i.i.d. 증분 ν0에 대해 엔트로피 바운드를 일반화하며, c(ν0)는 ν0에 따라 달라진다.
• 핑퐁 방법과 군론적 추론(예: 자리스키 폐쇄, 최대 아벨 부분군, 유니포텐트 라디칼)을 사용해 선형군의 성장률을 분석한다.
• Platonov의 중심자 결과와 Jordan의 정리를 활용해 유한 부분군을 제어하고, 유계 지수의 아벨 부분군을 구성한다.
• 아핀 군 내의 비-유한 노름군은 특정 준동형사상 하에서 비아벨 이미지를 가져야 한다는 사실을 활용해 성장률에 대한 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형군에 대한 균일한 지수적 성장 추측은 레이머 추측과 등가인가?
• RQ2 x ↦ λx ± 1로 생성되는 세미군 위에서의 랜덤 워크 엔트로피 hλ는 마할 측도 Mλ에 대해 하한이 존재하는가?
• RQ3 레이머 추측 하에 모든 대수적 λ ∈ (1−ε, 1)에 대해 dim µλ = 1이 성립하는가?
• RQ4 레이머 수 λ ∈ (1/2, 1)에 대해 hλ가 log Mλ와 같을 수 있는가?
• RQ5 해결 가능 계수 r이 유계인 선형군에 대해 성장률 ρS에 대한 균일한 하한이 존재하는가?

주요 결과

• GLd(C)에 대한 성장 추측은 레이머 추측과 등가이며, 군이 유한 노름군이 아닌 한 ρS > 0이 항상 성립한다.
• 모든 대수적 수 λ에 대해 엔트로피 hλ는 절대 상수 c > 0에 대해 c·min{1, log Mλ} ≤ hλ ≤ min{1, log Mλ}를 만족한다. 수치적으로 c ≈ 0.44이다.
• Mλ < 2 이고 λ의 갈루아 공액원 중 단위원 위에 있는 것이 없을 경우, hλ < log Mλ임을 보여주며, 이는 상한이 일반적으로 엄밀하게 성립함을 시사한다.
• 레이머 추측이 성립할 경우, 모든 대수적 λ ∈ (1−ε, 1)에 대해 µλ의 차원은 1이다. 이는 매우 넓은 범위의 λ에 대해 조건 없이 성립한다.
• 해결 가능 계수 r이 유계인 임의의 해결 가능 군에 대해, cr > 0이 존재하여 군이 유한 노름군이 아니면 ρS > cr log Mλ를 만족한다. 여기서 λ는 원단위근이 아니며 대수적 수이다.
• 이 결과는 정수에 값을 갖는 일반적인 i.i.d. 증분 ν0에 대해 확장되며, c(ν0) > 1−ε일 수 있어 많은 새로운 비대칭 베르누이 복합체의 차원이 1임을 시사한다.