[논문 리뷰] Entropy of $C^1$ diffeomorphisms without a dominated splitting

Jérôme Buzzi, Sylvain Crovisier외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 06.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $C^1$ 미분구조에서 분할이 없는 경우, 주기 궤도의 $C^1$-변형을 통해 호새마차를 구성할 수 있으며, 그 위상적 엔트로피가 루엘의 부등식에 의해 주어진 상한—즉, 양의 리아프누프 지수의 합—에 임의로 가까이 갈 수 있음을 입증한다. 이 최적의 엔트로피 생성은 핵심적인 결과를 낳는다: 보존적 상황에서는 위상적 엔트로피가 연속이지만 국소적으로 일정하지 않으며, 최대 엔트로피를 갖는 측도는 존재하지 않는다. 비보존적 경우에서는 일반적으로 무한히 많은 동형류 클래스가 존재하며, 각각의 엔트로피는 0으로부터 분리되어 있다.

ABSTRACT

A classical construction due to Newhouse creates horseshoes from hyperbolic periodic orbits with large period and weak domination through local $C^1$-perturbations. Our main theorem shows that, when one works in the $C^1$ topology, the entropy of such horseshoes can be made arbitrarily close to an upper bound deriving from Ruelle's inequality, i.e., the sum of the positive Lyapunov exponents (or the same for the inverse diffeomorphism, whichever is smaller). Adapting classical techniques, we use perturbations that are local and can be chosen to preserve volume or symplectic form or a homoclinic connection. This optimal entropy creation yields a number of consequences for $C^1$-generic diffeomorphisms, especially in the absence of a dominated splitting. For instance, in the conservative settings, we find formulas for the topological entropy, deduce that the topological entropy is continuous but not locally constant at the generic diffeomorphism and we prove that these generic diffeomorphisms have no measure of maximum entropy. In the dissipative setting, we show the locally generic existence of infinitely many homoclinic classes with entropy bounded away from zero.

연구 동기 및 목표

• 분할이 없는 $C^1$ 미분구조에서 엔트로피가 생성되는 메커니즘을 이해하기 위해.
• 이러한 조건 하에서 일반적인 $C^1$ 미분구조에서 위상적 엔트로피가 연속적이거나 국소적으로 일정한지 여부를 규명하기 위해.
• 최대 엔트로피 측도의 존재성과 구조, 그리고 동형류 클래스 내에서 엔트로피의 국소화를 조사하기 위해.
• 뉴하우즈의 호새마차 구성 기법을 고차원 및 보존 시스템으로 확장하여 엔트로피 최적화를 달성하기 위해.

제안 방법

• 주기 궤도의 $C^1$-변형을 통한 동형류 비틀림에서의 뉴하우즈의 호새마차 구성 기법을 강화한 버전을 활용한다.
• 리아프누프 지수를 제어하고 초구형성을 유지하기 위해 선형 코어브릭스에 대한 프랭크스의 보조정리를 적용하고 변형 기법을 사용한다.
• 일반적인 미분구조가 고도의 엔트로피를 갖는 에르고딕 측도를 근사하는 호새마차를 포함함을 보이기 위해 베어 카테고리 추론을 적용한다.
• 엔트로피의 상한으로서 루엘의 부등식을 적용하고, 이 상한에 임의로 가까이 가는 엔트로피를 갖는 호새마차를 구성한다.
• 측도가 호새마차 위에 지지되어 있는 경우 주어진 에르고딕 측도에 가까운 것을 실현하기 위해 카토크의 근사 정리를 활용한다.
• 변형된 호새마차로부터의 추정치를 사용하여 동형류 클래스의 하우스도르프 차원을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할이 없는 $C^1$ 미분구조에서 위상적 엔트로피를 $C^1$-변형을 통해 루엘의 상한에 임의로 가까이 갈 수 있는가?
• RQ2 분할이 없는 경우 일반적인 $C^1$ 미분구조에서 위상적 엔트로피가 연속적인가?
• RQ3 분할이 없는 일반적인 $C^1$ 미분구조에서 최대 엔트로피 측도가 존재하는가?
• RQ4 비보존적 상황에서 일반적으로 무한히 많은 동형류 클래스가 존재하며, 각각의 엔트로피가 0으로부터 분리되어 있는가?
• RQ5 분할이 없는 경우 주기점의 안정/불안정 차원과 그 동형류 클래스의 하우스도르프 차원 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 분할이 없는 일반적인 $C^1$ 미분구조에서 위상적 엔트로피는 연속이지만 국소적으로 일정하지 않다.
• 분할이 없는 일반적인 $C^1$ 미분구조에서는 최대 엔트로피 측도가 존재하지 않는다.
• 보존적 상황에서는 위상적 엔트로피가 보렐 동형성까지 주기 궤도에 의해 완전히 결정된다.
• 비보존적 상황에서는 무한히 많은 동형류 클래스를 갖는 $C^1$-일반적인 미분구조가 존재하며, 각각의 엔트로피는 0으로부터 분리되어 있다.
• 분할이 없는 $C^1$-일반적인 미분구조에서 동형류 클래스의 하우스도르프 차원은 주기점의 불안정 차원을 초월할 수 있다.
• 엔트로피가 루엘의 상한—즉, 양의 리아프누프 지수의 합—에 임의로 가까이 갈 수 있도록 호새마차를 구성할 수 있다.