[논문 리뷰] Entropy stabilization and property-preserving limiters for discontinuous Galerkin discretizations of nonlinear hyperbolic equations

Dmitri Kuzmin|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 07.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 36인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 초월보존법칙에서 비연속 갈레르킨(DG) 방법을 위한 엔트로피 안정화와 성질 보존 리미터를 통합한 통합 프레임워크를 제안한다. 타일러 기반 표현 방식에 Rusanov 유형의 엔트로피 viscositiy를 통합하고 정점 기반 기울기 리미터를 적용함으로써, 이 방법은 엔트로피 안정성, 국소 최대원칙 보존, 스칼라 및 비볼록 플럭스 문제 모두에서 경계 보존 행동을 보장하며, 물리적 경계를 위반하지 않는 고해상도, 진동 없는 해를 달성한다.

ABSTRACT

The methodology proposed in this paper bridges the gap between entropy stable and positivity-preserving discontinuous Galerkin (DG) methods for nonlinear hyperbolic problems. The entropy stability property and, optionally, preservation of local bounds for the cell averages are enforced using flux limiters based on entropy conditions and discrete maximum principles, respectively. Entropy production by the (limited) gradients of the piecewise-linear DG approximation is constrained using Rusanov-type entropy viscosity, as proposed by Abgrall in the context of nodal finite element approximations. We cast his algebraic entropy fix into a form suitable for arbitrary polynomial bases and, in particular, for modal DG approaches. The Taylor basis representation of the entropy stabilization term reveals that it penalizes the solution gradients in a manner similar to slope limiting and requires semi-implicit treatment to achieve the desired effect. The implicit Taylor basis version of the Rusanov entropy fix preserves the sparsity pattern of the element mass matrix. Hence, no linear systems need to be solved if the Taylor basis is orthogonal and an explicit treatment of the remaining terms is adopted. The optional application of a vertex-based slope limiter constrains the piecewise-linear DG solution to be bounded by local maxima and minima of the cell averages. The combination of entropy stabilization with flux and slope limiting leads to constrained approximations that possess all desired properties. Numerical studies of the new limiting techniques and entropy correction procedures are performed for two scalar two-dimensional test problems with nonlinear and nonconvex flux functions.

연구 동기 및 목표

• 비선형 초월 문제를 위한 엔트로피 안정 DG 스킴과 정수성 보존 DG 스킴 간 격차를 메우기 위해.
• 유량 및 기울기 리미팅을 통해 엔트로피 안정성과 국소 경계 보존을 동시에 강제하기 위해.
• 충격 영역에서 과소 및 과대 진동, 엔트로피 위반 행동을 피하는 안정적인 고차원 DG 이산화를 개발하기 위해.
• Abgrall의 엔트로피 비스코시티 방법을 임의의 다항식 기저로 일반화하고, 특히 타일러 기저를 포함한 모달 DG에 적용하기 위해.
• 결과로 얻어진 스킴이 강건하고, 보존적이며, 스칼라 및 시스템 수준의 초월 문제에 모두 적합하도록 하기 위해.

제안 방법

• 기울기 리미팅과 유사한 방식으로 해의 기울기를 억제하기 위해, Rusanov 유형의 엔트로피 비스코시티 항을 타일러 기반 표현 방식으로 적용한다.
• 엔트로피 안정성 조건을 유지하고 질량 행렬의 희박성 구조를 보존하기 위해 엔트로피 안정화 항을 반익명적으로 처리한다.
• 국소 셀 평균의 극값으로 정의된 경계 내에서 DG 해를 제약하기 위해 정점 기반 기울기 리미터를 구현한다.
• 엔트로피 조건에 기반한 유량 리미팅과 이산 최대원칙에 기반한 기울기 리미팅을 결합하여 엔트로피 안정성과 경계 보존을 동시에 강제한다.
• 비익명 항은 명시적으로 처리하고 엔트로피 보정 항은 은밀하게 처리하여 효율성과 안정성을 유지한다.
• 엔트로피 안정성을 유지하고 적응형 소산 조절을 가능하게 하는 룬게-쿠타 시간 적분 스킴을 채택한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엔트로피 안정화와 성질 보존 리미터를 하나의 DG 프레임워크에 통합하여 동시에 엔트로피 안정성과 경계 보존을 강제할 수 있는가?
• RQ2 Abgrall의 엔트로피 비스코시티 방법을 임의의 다항식 기저, 특히 타일러 기저를 포함한 모달 DG에 일반화할 수 있는가?
• RQ3 제안된 유량 리미터가 비선형 비볼록 플럭스 문제에서 엔트로피 부등식과 국소 최대원칙 만족을 어느 정도 보장하는가?
• RQ4 엔트로피 안정화와 기울기 리미팅의 조합이 스칼라 초월 문제에서 충격 영역과 스무스 영역의 해상도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 결과로 얻어진 스킴이 비정상적인 진동과 엔트로피 위반 해를 방지하면서도 고차원 정확도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 유량 및 기울기 리미팅을 적용한 엔트로피 안정 DG1 스킴(ES1S)은 엔트로피 안정성과 [0,1] 범위 내 경계 보존을 동시에 확보하며, Buckley-Leverett 시험에서 세포 평균이 [0.0, 0.997] 범위에 압축되어 있음을 보였다.
• 유량 리미팅 없이 구현된 DG1 스킴은 강한 과소 및 과대 진동을 보이며, 값이 -0.354에서 1.451 사이로 범위를 벗어나 엔트로피 위반 행동을 나타냈다.
• h=1/128 조건에서 KPP 문제에 대한 ES1S 해는 과소 및 과대 진동이 없었고, 충격 영역에서도 돌출파 구조를 정확히 포착하였다.
• 엔트로피 안정화된 ES1S 방법은 엔트로피 생산을 감소시키고 비정상적인 진동을 피하며, 표준 DG1 및 엔트로피 안정 ES1 스킴보다 경계 보존 성능이 뛰어났다.
• 수직 타일러 기저를 사용할 경우 질량 행렬의 희박성 패턴을 유지하여 선형 시스템을 풀지 않고도 효율적인 해를 도출할 수 있었다.
• 수치 결과는 유량 리미팅과 기울기 리미팅의 조합이 정리 2에서 증명한 바와 같이 엔트로피 안정성과 국소 최대원칙 만족을 보장함을 확인하였다.