[논문 리뷰] Entropy-stable hybridized discontinuous Galerkin methods for the compressible Euler and Navier-Stokes equations

Pablo Fernández, Ngoc Cuong Nguyen외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 15.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 50인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 압축성 유동의 Euler 및 Navier-Stokes 방정식에 대해 엔트로피 변수를 사용하는 엔트로피 안정성 하이브리드화된 불연속 갈레르킨(HDG) 방법을 소개한다. 방법을 엔트로피 변수로 설정하고 적절한 수치적 플럭스를 선택함으로써, 이 방법은 적분적 의미에서 열역학 제2법칙을 만족시키며 엔트로피 안정성을 확보한다. 이는 특히 부족하게 해상도가 낮거나 충격을 포착하는 유동에서 안정성과 내구성을 크게 향상시키며, 최적의 수렴 차수를 유지한다.

ABSTRACT

In the spirit of making high-order discontinuous Galerkin (DG) methods more competitive, researchers have developed the hybridized DG methods, a class of discontinuous Galerkin methods that generalizes the Hybridizable DG (HDG), the Embedded DG (EDG) and the Interior Embedded DG (IEDG) methods. These methods are amenable to hybridization (static condensation) and thus to more computationally efficient implementations. Like other high-order DG methods, however, they may suffer from numerical stability issues in under-resolved fluid flow simulations. In this spirit, we introduce the hybridized DG methods for the compressible Euler and Navier-Stokes equations in entropy variables. Under a suitable choice of the stabilization matrix, the scheme can be shown to be entropy stable and satisfy the Second Law of Thermodynamics in an integral sense. The performance and robustness of the proposed family of schemes are illustrated through a series of steady and unsteady flow problems in subsonic, transonic, and supersonic regimes. The hybridized DG methods in entropy variables show the optimal accuracy order given by the polynomial approximation space, and are significantly superior to their counterparts in conservation variables in terms of stability and robustness, particularly for under-resolved and shock flows.

연구 동기 및 목표

• 부족하게 해상도가 낮거나 충격을 포착하는 유동에서 고차수 불연속 갈레르킨(DG) 방법의 수치적 불안정성을 해결하기 위해.
• 정적 조합을 통해 계산 효율성을 확보하면서도 엔트로피 안정성을 확보하는 하이브리드화된 DG 프레임워크를 개발하기 위해.
• 수치적 스킴이 적분적 의미에서 열역학 제2법칙을 만족하도록 보장하기 위해.
• 비음속, 초음속 및 초음속 유동 시뮬레이션에서 내구성과 정확도를 향상시키기 위해.
• 안정성과 수렴 성능 측면에서 보존 변수 대비 엔트로피 변수 설정이 우월함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 엔트로피 안정성 분석이 가능하도록, 탄성 유동의 Euler 및 Navier-Stokes 방정식을 엔트로피 변수로 재구성한다.
• 정적 조합을 가능하게 하는 일반화된 HDG, EDG 및 IEDG 방법을 포함하는 하이브리드화된 DG 이산화를 사용한다.
• 특정 엔트로피 보존 항등식을 만족함으로써 엔트로피 안정성을 보장하는 수치적 플럭스를 구성한다.
• 계산 영역 내 총 엔트로피가 감소하지 않는 것을 보장하는 이산 엔트로피 진화 방정식을 유도한다.
• 도메인 내 해법과 수치적 트레이스를 포함한 하이브리드화된 미지수를 사용하는 변분 형식을 적용하여 자유도를 감소시킨다.
• 점성 항에 대해 투영 기반 안정화를 적용하고, 수치적 플럭스를 통해 경계 조건과의 일致성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축성 Euler 및 Navier-Stokes 방정식에 대해 엔트로피 변수를 사용하는 엔트로피 안정성 하이브리드화된 DG 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 방법이 엔트로피 안정성을 확보하면서도 최적의 수렴 차수를 유지하는가?
• RQ3 부족하게 해상도가 낮거나 충격을 포착하는 유동에서 엔트로피 변수 설정은 보존 변수 설정보다 내구성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 스킴이 이산적이고 적분적인 의미에서 열역학 제2법칙을 유지하는가?
• RQ5 초음속 및 초음속 유동과 같은 도전적인 유동 영역에서의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 엔트로피 변수 기반 하이브리드화된 DG 방법은 다항식 근사 공간에 맞춰 최적의 수렴 차수를 달성한다.
• 적절한 수치적 플럭스 선택 덕분에 스킴은 엔트로피 안정성을 확보하고 적분적 의미에서 열역학 제2법칙을 만족한다.
• 특히 부족하게 해상도가 낮거나 충격을 포착하는 영역에서 보존 변수 설정 대비 훨씬 뛰어난 안정성과 내구성을 보인다.
• 비음속, 초음속 및 초음속 영역에서의 정적 및 비정적 유동에 대한 수치 결과는 이 방법의 효과성과 정확성을 확인한다.
• 엔트로피 변수 사용은 불연속성 근처에서의 진동을 감소시키고 수렴 행동을 향상시킨다.
• 매우 부족하게 해상도가 낮은 시뮬레이션에서도 안정성을 유지함으로써, 대규모 난류 시뮬레이션 응용 분야에서 향상된 내구성을 보여준다.