[논문 리뷰] Entropy Stable p-Nonconforming Discretizations with the Summation-by-Parts Property for the Compressible Euler equations

David C. Del Rey Fernández, Mark H. Carpenter외 7명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 27.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 48인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 압축성 유동 방정식에 대해 곡선 격자에 대해 엔트로피 안정적이고 p-비일치하는 불연속 갈레르킨 방법을, 합성-통합(SBP) 성질을 갖는 것으로 확장한다. 비일치 인터페이스에서 SBP를 유지하는 보간법과 메트릭 근사법을 사용함으로써, 이 방법은 엔트로피 안정성, 요소별 보존성, 자유류 유지 성질을 확보하며, 벤치마크 테스트에서 일치하는 대응 방식과 동일한 정확도와 안정성을 확보한다.

ABSTRACT

The entropy conservative/stable algorithm of Friedrich~\etal (2018) for hyperbolic conservation laws on nonconforming p-refined/coarsened Cartesian grids, is extended to curvilinear grids for the compressible Euler equations. The primary focus is on constructing appropriate coupling procedures across the curvilinear nonconforming interfaces. A simple and flexible approach is proposed that uses interpolation operators from one element to the other. On the element faces, the analytic metrics are used to construct coupling terms, while metric terms in the volume are approximated to satisfy a discretization of the geometric conservation laws. The resulting scheme is entropy conservative/stable, elementwise conservative, and freestream preserving. The accuracy and stability properties of the resulting numerical algorithm are shown to be comparable to those of the original conforming scheme (~p+1 convergence) in the context of the isentropic Euler vortex and the inviscid Taylor-Green vortex problems on manufactured high order grids.

연구 동기 및 목표

• 압축성 유동 방정식에 대해 곡선 격자에 대해 엔트로피 안정적이고 p-비일치하는 불연속 갈레르킨 방법을 확장한다.
• 곡선 요소에서 비일치 인터페이스에서 엔트로피 안정성과 보존성을 확보한다.
• p-재분할/재감소가 존재하는 상황에서도 자유류 유지 성질과 고차 정확도를 유지한다.
• SBP를 유지하는 보간법과 일관된 메트릭 근사법을 사용하여 견고한 결합 절차를 개발한다.
• 제조된 고차 격자에서 일치하는 기준과의 정확도와 안정성 검증을 수행한다.

제안 방법

• Friedrich 등(2018)의 엔트로피 보존/안정 프레임워크를 동시에 보정항(SATs)을 갖는 SBP 연산자를 사용하여 곡선 요소에 적용한다.
• 비일치 요소 간의 보간 연산자를 사용하여 인터페이스를 넘어서 해 값의 결합을 수행한다.
• 요소 면에서 해석적 메트릭을 사용하고 체적 메트릭 항을 근사하여 기하 보존 법칙을 만족시킨다.
• Crean 등(2017)의 메트릭 근사 기법을 적용하여 엔트로피 안정성과 요소별 보존성을 유지한다.
• 고차 정확도를 확보하기 위해 가우스-레지엔드르-로바트(LGL) 점을 사용하는 정렬된 노드 기반 DG 이산화를 구현한다.
• 스푸르어스 소스 항을 방지하기 위해 인터페이스 및 체적 항을 신중히 구성함으로써 자유류 유지 성질을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엔트로피 안정적이고 p-비일치하는 DG 스킴을 곡선 격자로 확장할 수 있는가? 이 과정에서 안정성과 보존성이 유지되는가?
• RQ2 곡선 요소에서 비일치 인터페이스를 어떻게 결합할 수 있는가? 이 과정에서 엔트로피 안정성이나 자유류 유지 성질이 손상되지 않도록 하는가?
• RQ3 고차 곡선 요소에서 기하 보존 법칙과 일관된 메트릭 근사 전략은 무엇인가?
• RQ4 최종적으로 유도된 스킴은 일치하는 SBP-DG 스킴과 동일한 수렴 속도와 안정성을 유지하는가?
• RQ5 비선형 문제, 예를 들어 타일러-그린 소용루의 장시간 시뮬레이션에서도 이 방법은 견고한가?

주요 결과

• 제안된 스킴은 압축성 유동 방정식에 대해 p-비일치 곡선 격자에서 엔트로피 안정성과 요소별 보존성을 확보한다.
• 자유류 해가 유지됨을 확인하기 위해 잡음 없는 소용루와 일관된 운동 에너지 변화를 통해 검증되었다.
• 이엔트로피 바이러스 문제에서 p=1에서 p=7까지 L1, L2, L∞ 노름에서 p+1 수렴 속도를 보이며, 일치하는 스킴과 동일한 성능을 보였다.
• p=2에서 p=10까지의 타일러-그린 소용루 테스트에서 20단위 시간 동안 안정적으로 유지되었으며, 붕괴나 비물리적 진동이 발생하지 않았다.
• 비일치 스킴은 L1 및 L2 노름에서 일치 스킴보다 略적으로 더 높은 정확도를 보였지만, 최적화되지 않은 보간으로 인해 L∞ 오차는 略적으로 더 나빴다.
• 운동 에너지의 시간 도함수는 유한하고 물리적으로 일관되며, 비선형 장시간 시뮬레이션에서의 견고성을 확인한다.