[논문 리뷰] Enumerating (2+2)-free posets by indistinguishable elements

Mark Dukes, Sergey Kitaev외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 14.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 8인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 (2+2)-자유 포스넷에서 동일시할 수 있는 원소들의 최대 크기를 측정하는 통계량 maxindist를 도입하고, 이러한 포스넷과 상승 수열 사이의 전단사 관계를 설정하며, 동일시할 수 있는 원소들이 수열에서 연속된 동일한 항목(연속 블록)에 대응됨을 보여준다. 주요 기여는 maxindist와 서로 다른 엄격한 아래집합의 수로 세분화된 (2+2)-자유 포스넷에 대한 생성함수를 유도한 것으로, Jovović의 상부 삼각형 이진행렬에 대한 추측을 확인한다.

ABSTRACT

A poset is said to be (2+2)-free if it does not contain an induced subposet that is isomorphic to 2+2, the union of two disjoint 2-element chains. Two elements in a poset are indistinguishable if they have the same strict up-set and the same strict down-set. Being indistinguishable defines an equivalence relation on the elements of the poset. We introduce the statistic maxindist, the maximum size of a set of indistinguishable elements. We show that, under a bijection of Bousquet-Melou et al., indistinguishable elements correspond to letters that belong to the same run in the so-called ascent sequence corresponding to the poset. We derive the generating function for the number of (2+2)-free posets with respect to both maxindist and the number of different strict down-sets of elements in the poset. Moreover, we show that (2+2)-free posets P with maxindist(P) at most k are in bijection with upper triangular matrices of nonnegative integers not exceeding k, where each row and each column contains a nonzero entry. (Here we consider isomorphic posets to be equal.) In particular, (2+2)-free posets P on n elements with maxindist(P)=1 correspond to upper triangular binary matrices where each row and column contains a nonzero entry, and whose entries sum to n. We derive a generating function counting such matrices, which confirms a conjecture of Jovovic, and we refine the generating function to count upper triangular matrices consisting of nonnegative integers not exceeding k and having a nonzero entry in each row and column. That refined generating function also enumerates (2+2)-free posets according to maxindist. Finally, we link our enumerative results to certain restricted permutations and matrices.

연구 동기 및 목표

• ‘(2+2)-자유 포스넷에서 동일시할 수 있는 원소들의 최대 크기’인 통계량 maxindist를 정의하고 연구하는 것.
• (2+2)-자유 포스넷과 상승 수열 사이의 전단사 관계를 설정하여, 동일시할 수 있는 원소들이 상승 수열에서 연속된 동일한 항목(연속 블록)에 대응됨을 보이는 것.
• maxindist와 서로 다른 엄격한 아래집합의 수로 세분화된 (2+2)-자유 포스넷에 대한 생성함수를 도출하는 것.
• maxindist ≤ k인 (2+2)-자유 포스넷이 비어 있지 않은 행이나 열을 갖지 않는 {0,1,...,k}의 원소를 가진 상부 삼각형 행렬과 전단사 관계에 있음을 증명하는 것.
• 비어 있지 않은 행이나 열을 갖지 않는 상부 삼각형 이진행렬에 대한 생성함수에 대해 Jovović의 추측을 확인하는 것.

제안 방법

• Bousquet-Mélou 등에 의해 확립된 (2+2)-자유 포스넷과 상승 수열 사이의 전단사 관계를 활용하여, maxindist 통계량을 상승 수열의 연속 블록에 대한 성질로 변환한다.
• 연속된 동일한 쌍의 수를 세는 통계량 epairs(a)를 정의하며, 이는 관련된 포스넷에서 동일시할 수 있는 원소에 대응된다.
• 최대 길이 k인 블록을 가진 상승 수열의 세분화된 구조를 이용하여 생성함수를 구성하며, 이는 (1 - 1/(1+t)^i) 형태의 항들을 포함하는 곱공식이 된다.
• maxindist ≤ k인 (2+2)-자유 포스넷과 {0,1,...,k}의 원소를 가지며 비어 있지 않은 행이나 열을 갖지 않는 상부 삼각형 행렬 사이의 전단사를 조합적 맵핑을 통해 확립한다.
• 이러한 행렬에 대한 세분화된 생성함수를 유도하며, 상승 수열과 포스넷과의 연결을 통해 Jovović의 추측을 확인한다.
• 기존의 전단사 관계를 통해 매칭과 순열으로 결과를 확장하며, maxindist가 순열에서 인접한 감소항과 매칭에서 유사한 호를 연결함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 (2+2)-자유 포스넷에서 동일시할 수 있는 원소의 개념을 새로운 통계량 maxindist를 사용하여 형식화하고 세밀히 세는가?
• RQ2 maxindist와 서로 다른 엄격한 아래집합의 수로 세분화된 (2+2)-자유 포스넷에 대한 생성함수는 무엇인가?
• RQ3 maxindist ≤ k인 (2+2)-자유 포스넷은 어떤 구조적 행렬로 조합적 해석이 가능한가?
• RQ4 비어 있지 않은 행이나 열을 갖지 않는 상부 삼각형 이진행렬에 대한 생성함수는 Jovović의 추측된 공식과 일치하는가?
• RQ5 기존의 전단사 관계 하에서 상승 수열, 포스넷, 순열, 매칭에 대한 통계량은 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• maxindist ≤ k이고 n개의 원소를 가진 (2+2)-자유 포스넷의 수에 대한 생성함수는 (1 - 1/(1+t)^i) 형태의 항들을 포함하는 곱공식으로 주어지며, 이는 세분화된 세기의 확인을 의미한다.
• maxindist = 1인 (2+2)-자유 포스넷의 수는 비어 있지 않은 행이나 열을 갖지 않으며, 합이 n이 되는 상부 삼각형 이진행렬의 수와 같다.
• 이러한 이진행렬에 대한 생성함수는 Jovović의 추측을 확인하며, ∑_{n≥0} ∏_{i=1}^{n} (1 - 1/(1+t)^i) 로 주어진다.
• (2+2)-자유 포스넷에서의 통계량 maxindist는 관련된 상승 수열에서 연속된 동일한 쌍의 수에 대응된다.
• maxindist ≤ k인 (2+2)-자유 포스넷의 수는 비어 있지 않은 행이나 열을 갖지 않는 {0,1,...,k}의 비음수 정수 원소를 가진 상부 삼각형 행렬과 전단사 관계에 있다.
• 입력 값 ≤ k이고 비어 있지 않은 행이나 열을 갖지 않는 행렬에 대한 세분화된 생성함수는 maxindist로 세분화된 (2+2)-자유 포스넷의 생성함수와 일치한다.