[논문 리뷰] Enumerating the total number of subtrees of trees

Shuchao Li, Shujing Wang|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 14.

Graph theory and applications참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 매칭 수, 독립 수, 최대 차수, 잎의 수, 지름 등의 다양한 구조적 제약 조건 하에서 $n$-정점 트리의 전체 서브트리 수 및 잎을 포함하는 서브트리 수에 대한 날카운 상한과 하한을 결정한다. 이론적 최적 트리(경로 유사 및 별 유사 구성)가 이러한 경계를 달성함을 조합 최적화 및 서브트리 수세기 기법을 통해 특성화한다.

ABSTRACT

Over some types of trees with a given number of vertices, which trees minimize or maximize the total number of subtrees or leaf containing subtrees are studied. Here are some of the main results:\ (1)\, Sharp upper bound on the total number of subtrees (resp. leaf containing subtrees) among $n$-vertex trees with a given matching number is determined; as a consequence, the $n$-vertex tree with domination number $γ$ maximizing the total number of subtrees (resp. leaf containing subtrees) is characterized. (2)\, Sharp lower bound on the total number of leaf containing subtrees among $n$-vertex trees with maximum degree at least $Δ$ is determined; as a consequence the $n$-vertex tree with maximum degree at least $Δ$ having a perfect matching minimizing the total number of subtrees (resp. leaf containing subtrees) is characterized. (3)\, Sharp upper (resp. lower) bound on the total number of leaf containing subtrees among the set of all $n$-vertex trees with $k$ leaves (resp. the set of all $n$-vertex trees of diameter $d$) is determined.

연구 동기 및 목표

• 주어진 구조적 제약 조건 하에서 전체 서브트리 수를 최대화 또는 최소화하는 $n$-정점 트리의 이론적 구조를 규명하는 것.
• 매칭 수, 독립 수, 최대 차수, 잎의 수, 지름 등의 제약 조건 하에서 잎을 포함하는 서브트리 수를 최대화 또는 최소화하는 트리의 특성화.
• 특정 트리 클래스(예: 고정된 매칭 수 또는 지름을 가진 트리)에서 서브트리 수에 대한 날카운 상한과 하한을 설정하는 것.
• 기존의 위너 지수 이론적 성질 결과를 서브트리 수세기로 확장하여, 두 불변량 간의 구조적 유사성을 드러내는 것.

제안 방법

• 경로 유사 및 별 유사 구성과 같은 이론적 후보로 주로 초점을 맞춘 트리 구조에 대한 조합 최적화 기법을 사용한다.
• 카라비터 트리 및 중심 정점의 차수가 높은 트리에서의 서브트리 수에 대한 기존 결과를 적용한다.
• 재귀적 분해 및 공식 $ F(T) = F(T - v) + F(T - N_T(v)) $ 를 통한 서브트리 수 계산을 수행하며, 여기서 $ F(T) $ 는 트리 $ T $ 의 서브트리 수를 나타낸다.
• 위너 지수와 서브트리 수 간의 관계를 활용하여, 특정 제약 조건 하에서 동일한 이론적 트리(경로 및 별)가 둘 다 최대화 또는 최소화됨을 관찰한다.
• 모순과 구조적 변환을 통한 이론성 증명을 위해 레마 2.6과 사실 1을 활용한다.
• 예를 들어 $ F^*(T_n^k) = \left(\left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor+1\right)^i \left(\left\lceil\frac{n-1}{k}\right\rceil+1\right)^j - \left(\left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor\right)^i \left(\left\lceil\frac{n-1}{k}\right\rceil\right)^j + i\left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor + j\left\lceil\frac{n-1}{k}\right\rceil $ 와 같은 폐쇄형 표현식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 매칭 수를 가진 $n$-정점 트리 중에서 전체 서브트리 수를 최대화 또는 최소화하는 트리는 무엇인가?
• RQ2 독립 수 $\gamma$ 를 가진 $n$-정점 트리 중에서 잎을 포함하는 서브트리 수를 최대화 또는 최소화하는 트리는 무엇인가?
• RQ3 최대 차수가 $\Delta$ 이상인 $n$-정점 트리 중에서 잎을 포함하는 서브트리 수에 대한 날카운 하한은 무엇인가?
• RQ4 $k$개의 잎을 가진 $n$-정점 트리 중에서 서브트리 수를 최대화 또는 최소화하는 트리는 무엇인가?
• RQ5 지름 $d$ 를 가진 $n$-정점 트리 중에서 잎을 포함하는 서브트리 수를 최소화 또는 최대화하는 트리는 무엇인가?

주요 결과

• 매칭 수 $q$ 를 가진 $n$-정점 트리 중에서 전체 서브트리 수를 최대화하는 트리는 특성화되며, 이 이론적 트리는 $k = q$ 인 $T_n^k$ 로 나타난다.
• 독립 수 $\gamma$ 를 가진 트리의 경우, 서브트리 수를 최대화하는 이론적 트리는 유일하게 $k = \gamma$ 인 $T_n^k$ 로 특성화된다.
• 최대 차수가 $\Delta$ 이상인 $n$-정점 트리 중에서 잎을 포함하는 서브트리 수에 대한 날카운 하한은 완전 매칭을 가지며 최대 차수가 $\Delta$ 인 트리에서 달성되며, 이 경우 서브트리 수가 최소화된다.
• 지름 $d$ 를 가진 $n$-정점 트리 중에서 잎을 포함하는 서브트리 수를 최소화하는 이론적 트리는 $\hat{T}_{n,i}^d$ 로 나타나며, 여기서 $i = \lfloor d/2 \rfloor + 1$ 또는 $i = \lceil d/2 \rceil + 1$ 이고, 그 서브트리 수는 $2^{n-d-1}(\lfloor d/2 \rfloor + 1)(\lceil d/2 \rceil + 1) + \binom{\lfloor d/2 \rfloor + 1}{2}\binom{\lceil d/2 \rceil + 1}{2} + n - d - 1 - \binom{d}{2}$ 로 주어진다.
• $k$개의 잎을 가진 $n$-정점 트리 중에서 서브트리 수를 최대화하는 이론적 트리는 $T_n^k$ 이며, 그 전체 서브트리 수는 $\frac{n-1}{k}$ 의 floor 및 ceiling 함수를 포함하는 폐쇄형 표현식으로 주어진다.
• $\hat{T}_{n,i}^d$ 의 이론적 트리에서 잎을 포함하는 서브트리 수는 $\mathscr{S}_{n,d}$ 내의 다른 어떤 트리보다 엄격히 작으며, 등호는 오직 $\hat{T}_{n,i}^d$ 에서만 성립한다.