[논문 리뷰] Enumeration of edges in some lattices of paths

Luca Ferrari, Emanuele Munarini|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 30.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경로 분해와 생성함수를 이용하여 다양한 경로 라티스(posets)인 다이크, 모츠킨, 슈뢰더, 영 라티스의 하세 다이어그램에 포함된 간선 수를 세며, 체계적으로 계산한다. 특히, 임의의 영 라티스 $\mathcal{Y}_\lambda$에 대한 간선 수에 대한 일반 공식을 역할 세포 기여도를 통해 유도하며, 고전적 경로 라티스의 하세 지수(Hasse index)가 부울 라티스와 渐近적으로 동일하다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We enumerate the edges in the Hasse diagram of several lattices arising in the combinatorial context of lattice paths. Specifically, we will consider the case of Dyck, Grand Dyck, Motzkin, Grand Motzkin, Schröder and Grand Schröder lattices. Finally, we give a general formula for the number of edges in an arbitrary Young lattice (which can be interpreted in a natural way as a lattice of paths).

연구 동기 및 목표

• 고전적 경로 라티스인 다이크, 그랜드 다이크, 모츠킨, 그랜드 모츠킨, 슈뢰더, 그랜드 슈뢰더 경로에서 유도된 분포 라티스의 하세 다이어그램에 포함된 간선 수를 세는 것.
• 임의의 분할 $\lambda$에 대해 연관된 영 라티스 $\mathcal{Y}_\lambda$의 하세 다이어그램에 포함된 간선 수에 대한 일반적인 폐쇄형 공식을 도출하는 것.
• 이러한 라티스에서 하세 지수(간선 대 정점 비율)의 渐近적 행동을 조사하고 부울 라티스와 비교하는 것.
• 생성함수를 통한 포화 체인의 수 세기와 경로 분해 기법 간의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 저자들은 고전적 경로 라티스의 간선 수를 위한 생성함수를 유도하기 위해 경로 분해 기법을 사용하며, 카탈란 수 및 중심 이항계수와 같은 알려진 수열을 활용한다.
• 영 라티스의 경우, 역할 세포를 정의하고, 페르레 다이어그램 상의 각 세포 $ (i,j) $ 에 대해 관련된 분할 $\lambda_{ij}^{\swarrow}$ 과 $\lambda_{ij}^{\nearrow}$ 를 기반으로 라티스를 분해한다.
• 핵심 공식 $ \ell(\mathcal{Y}_\lambda) = \sum_{(i,j)\in\Phi_\lambda} |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\swarrow}}| \cdot |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\nearrow}}| $ 을 유도하며, 이는 모든 역할 세포와 그에 대응하는 부분라티스의 곱을 합산함으로써 간선 수를 세는 방식이다.
• 특히 $ L(m,n) = \mathcal{Y}_{(n,\dots,n)} $ 에 대한 간선 수의 생성함수는 $ \frac{xy}{(1-x-y)^2} $ 로 계산되며, 이로부터 폐쇄형 표현식 $ \ell(L(m,n)) = \binom{m+n-1}{n}n $ 을 도출한다.
• 하세 지수(간선 대 정점 비율)를 분석하여, 모든 고전적 경로 라티스에서 부울 라티스와 渐近적으로 동일하다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다이크 라티스 $\mathcal{D}_n$ 의 하세 다이어그램에 포함된 간선 수는 정확히 얼마인가요?
• RQ2 임의의 분할 $\lambda$ 에 대해 영 라티스 $\mathcal{Y}_\lambda$ 의 하세 다이어그램에 포함된 간선 수는 어떻게 계산할 수 있나요?
• RQ3 다이크 및 모츠킨 라티스와 같은 고전적 경로 라티스에서 하세 지수(간선 대 정점 비율)의 渐近적 행동은 어떻게 되나요?
• RQ4 경로 라티스의 하세 지수는 부울 라티스와 어떻게 비교될 수 있나요?

주요 결과

• 영 라티스 $ L(m,n) $ 의 하세 다이어그램에 포함된 간선 수는 $ \ell(L(m,n)) = \binom{m+n-1}{n}n $ 으로 주어지며, 이는 생성함수 $ \frac{xy}{(1-x-y)^2} $ 에서 유도된다.
• 임의의 분할 $ \lambda $ 에 대해 $ \mathcal{Y}_\lambda $ 의 간선 수는 $ \sum_{(i,j)\in\Phi_\lambda} |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\swarrow}}| \cdot |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\nearrow}}| $ 로 주어지며, 이 합은 $ \lambda $ 의 페르레 다이어그램 상의 모든 세포에 대해 이루어진다.
• 다이크 라티스 $ \mathcal{D}_n $ 의 하세 지수는 랭크 $ n $ 의 부울 라티스와 渐近적으로 동일하며, 그랜드 다이크, 모츠킨, 그랜드 모츠킨, 슈뢰더, 그랜드 슈뢰더 라티스의 경우에도 마찬가지로 성립한다.
• 모든 고전적 경로 라티스의 하세 지수는 부울 라티스의 하세 지수와 동일하거나, 渐近적으로 동치이거나, 또는 渐近적으로 준동치이다.