[논문 리뷰] Enumeration of polyominoes defined in terms of pattern avoidance or convexity constraints

Daniela Battaglino|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 13.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 학위논문은 패턴 회피와 볼록성 제약 조건을 이용한 다면체의 열거를 위한 새로운 프레임워크를 제안하며, 이는 이진 행렬 내 부분행렬 회피를 통해 순열 클래스와 연결된다. 다면체 클래스와 순열 패턴 간의 관계를 설정하고, $k$-평행사변형 다면체의 생성 함수를 유도하며, 이를 식물성 평면 트리와 연결하는 이분사적 증명을 제공함으로써, 구조화된 다면체 가족에 대한 새로운 조합적 통찰과 열거 기법을 제시한다.

ABSTRACT

In this thesis, we consider the problem of characterizing and enumerating sets of polyominoes described in terms of some constraints, defined either by convexity or by pattern containment. We are interested in a well known subclass of convex polyominoes, the k-convex polyominoes for which the enumeration according to the semi-perimeter is known only for k=1,2. We obtain, from a recursive decomposition, the generating function of the class of k-convex parallelogram polyominoes, which turns out to be rational. Noting that this generating function can be expressed in terms of the Fibonacci polynomials, we describe a bijection between the class of k-parallelogram polyominoes and the class of planted planar trees having height less than k+3. In the second part of the thesis we examine the notion of pattern avoidance, which has been extensively studied for permutations. We introduce the concept of pattern avoidance in the context of matrices, more precisely permutation matrices and polyomino matrices. We present definitions analogous to those given for permutations and in particular we define polyomino classes, i.e. sets downward closed with respect to the containment relation. So, the study of the old and new properties of the redefined sets of objects has not only become interesting, but it has also suggested the study of the associated poset. In both approaches our results can be used to treat open problems related to polyominoes as well as other combinatorial objects.

연구 동기 및 목표

• 볼록성과 패턴 회피 제약 조건에 기반하여 다면체를 체계적으로 분류하고 열거하는 접근법을 개발하기 위해.
• 이진 행렬 내 부분행렬 회피를 이용하여 다면체 클래스와 순열 클래스 간의 대응 관계를 설정하기 위해.
• $k$-평행사변형 다면체의 구조적 및 열거적 성질과 그들이 트리 구조와 어떻게 관련되어 있는지 탐구하기 위해.
• 다면체 및 순열 클래스에 대한 최소 및 표준 $m$-기저의 존재성과 성질을 조사하기 위해.
• 기존의 순열 패턴에서의 Wilf-등가성 결과를 부분행렬 회피를 통해 다면체 클래스의 맥락으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 특정 부분행렬의 회피를 통해 다면체 클래스를 정의하고, $m$-기저와 $p$-기저 체계를 사용하여 그들을 특성화하기 위해.
• Schützenberger 방법론(DSV)을 적용하여 $k$-평행사변형 다면체의 생성 함수에 대한 함수 방정식을 도출하기 위해.
• $k$-평행사변형 다면체와 식물성 평면 트리 사이의 이분사적 사상 구축을 통해 $k$-볼록성 정도를 트리 높이와 연결하기 위해.
• 생성 함수와 재귀 관계를 사용하여 $k$-평행사변형 다면체를 열거하고, 닫힌 형식의 공식을 도출하기 위해.
• 순열 패턴 회피를 이진 행렬 내 부분행렬 회피로 번역하여 다면체 클래스를 정의하고 분석하기 위해.
• 다면체 클래스의 밀도 성질을 평가하기 위한 이론적 기준으로 Stanley-Wilf-Marcus-Tardos 정리를 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 다면체 클래스를 이진 행렬 내 부분행렬 회피를 통해 체계적으로 정의하고 특성화할 수 있는가?
• RQ2 순열 클래스의 $p$-기저와 다면체 클래스의 맥락에서 해당하는 $m$-기저 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 $k$-평행사변형 다면체의 생성 함수는 명시적으로 유도될 수 있으며, 그 조합적 해석은 무엇인가?
• RQ4 $p$-기저가 클래스의 최소 $m$-기저가 되는 조건은 무엇이며, 이러한 기저는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ5 다면체 클래스는 순열 클래스의 Stanley-Wilf 정리와 유사한 밀도 성질을 보일까?
• RQ6 key_findings

주요 결과

• 생성 함수 방정식에서 유도된 $k$-평행사변형 다면체의 열거가 닫힌 형식의 공식을 제공함으로써 이루어진다.
• $k$-평행사변형 다면체와 식물성 평면 트리 사이의 이분사적 대응 관계가 설정되었으며, $k$-볼록성 정도는 트리의 높이에 해당한다.
• 뱀 모양의 다면체 가족은 특정 부분행렬의 회피를 통해 정의되는 다면체 클래스임이 입증되었다.
• 공실 스택 다면체와 직사각형 내 직사각형 구멍이 있는 직사각형은 명시적인 $p$-기저를 통해 다면체 클래스로 특성화되었다.
• 다면체 클래스의 $p$-기저는 임의의 $m$-기저로부터 유도될 수 있으며, 표준 $m$-기저는 이러한 클래스에 대한 최소 표현을 제공한다.
• 부분행렬 회피 접근법을 통해 무한히 많은 Wilf-등가성이 순열 클래스에서 도출되었으며, 문헌에 알려진 결과를 확장하였다.