[논문 리뷰] Enumeration of several two-by-four classes

Sam Miner|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 06.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 네 글자 패턴을 피하는 이전에 수세어지지 않은 세 개의 순열 클래스에 대해 명시적인 대수적 생성함수를 유도한다: $Av(4123,1324)$, $Av(4123,1243)$, 및 $Av(4123,1342)$이다. 다변수 생성함수 프레임워크 내에서 촉진 변수와 커널 방법을 사용하여, 차수 2의 닫힌 형식 표현식을 얻었으며, 각각의 성장률은 4, 5, 약 4.17035이다. 결과는 이러한 클래스의 큰 순열들이 추가 패턴을 피할 가능성이 매우 높으며, 이는 구조적 규칙성을 시사한다.

ABSTRACT

We use catalytic variables to derive generating functions for the permutation classes $Av( extbf{4123}, extbf{1324})$, $Av( extbf{4123}, extbf{1243})$, and $Av( extbf{4123}, extbf{1342})$. Each generating function is algebraic of degree two, and the growth rates of the classes are 4, 5, and $α$, respectively, where $α\approx 4.17035$. As a consequence of our analysis, we see that a typical large permutation in $Av( extbf{4123}, extbf{1324})$ is likely to also avoid $ extbf{3124}$, and is even more likely to avoid $ extbf{31524}$. Large permutations which avoid $ extbf{4123}$ and $ extbf{1243}$ are likely to also avoid $ extbf{1423}$.

연구 동기 및 목표

• 이전에 수세어지지 않은 두 개의 네 글자 패턴을 피하는 세 개의 순열 클래스를 수세어내는 것: $Av(4123,1324)$, $Av(4123,1243)$, 및 $Av(4123,1342)$.
• 촉진 변수와 다변수 생성함수를 적용하여 이러한 클래스에 대한 닫힌 형식의 생성함수를 도출하는 것.
• 이러한 클래스의 성장률을 결정하고, 추가 패턴을 피할 가능성의 점근적 특성을 분석하는 것.
• 출처 그래프와 팬 분해 방법의 적용 범위를 초기 출처 그래프가 팬이 아닌 경우에도 일반화하는 것.

제안 방법

• 클래스 내 순열의 구조를 모델링하기 위해 체계적으로 선택된 촉진 변수를 갖는 다변수 생성함수를 사용하는 것.
• 순열을 출처 그래프와 구성요소로 조합 분해한 후 유도된 함수 방정식을 해결하기 위해 커널 방법을 사용하는 것.
• 출처 그래프와 구성요소 유형(팬, 합성성분, 기울임성분, 혼합형)에 기반하여 순열을 분해하여 재귀적 생성함수 시스템을 구축하는 것.
• 클래스 하위집합의 생성함수를 구하기 위해 커널 방법을 적용하고, 이를 조합하여 전체 생성함수를 도출하는 것.
• 특히 제1.4조를 활용한 해석적 조합론을 사용하여 생성함수에서 점근적 성장률을 추출하는 것.
• 기호 계산(Maple)과 시각화 도구(PermLab)를 활용하여 대수적 변환과 구조적 통찰을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순열 클래스 $Av(4123,1324)$의 생성함수는 무엇이며, 그 성장률은 얼마인가요?
• RQ2 커널 방법과 촉진 변수를 사용하여 비트리비얼한 구조를 가진 두 개의 네 글자 패턴을 피하는 클래스에 대해 대수적 생성함수를 도출할 수 있는가요?
• RQ3 $Av(4123,1324)$에 속하는 큰 순열이 3124나 31524를 동시에 피할 가능성은 얼마나 되며, 이는 클래스의 구조에 어떤 함의를 갖는가요?
• RQ4 순열 클래스 $Av(4123,1342)$에 속하는 순열의 수의 점근적 행동은 어떠한가요? 그리고 예측 가능한 성장 패턴을 따르는가요?
• RQ5 초기 출처 그래프가 팬으로 제한되지 않는 클래스에 대해 출처 그래프 분해 방법을 어느 정도 일반화할 수 있나요?

주요 결과

• $Av(4123,1324)$의 생성함수는 차수 2의 대수적 함수이며, $\sqrt{1-4z}$를 포함하는 닫힌 형식 표현식을 가지며, 성장률은 정확히 4이다.
• $Av(4123,1243)$의 생성함수는 차수 2의 대수적 함수이며, $\sqrt{1-6z+5z^2}$를 포함하는 닫힌 형식 표현식을 가지며, 성장률은 정확히 5이다.
• $Av(4123,1342)$의 생성함수는 차수 2의 대수적 함수이며, 성장률은 약 4.17035이며, 이는 $z \approx 0.239788$에서 주요 특이점에 의해 유도된다.
• $Av(4123,1324)$에 속하는 큰 순열은 점근적으로 3124와 31524를 모두 피할 가능성이 매우 높으며, $n \to \infty$일 때 이러한 순열의 비율은 1에 수렴한다. 특히 $1 - \frac{45}{64n} + o(1/n)$이다.
• $Av(4123,1243)$ 클래스는 매우 구조적으로 이루어져 있으며, 큰 순열이 1423를 피할 가능성이 높다.
• 결과적으로 두 개의 네 글자 패턴을 피하는 수세어지지 않은 클래스의 수가 다섯 개로 줄었으며, 아직 분류되지 않은 나머지 두 개는 $Av(3412,4123)$와 $Av(3412,2413)$이다.