[논문 리뷰] Enumeration of singular varieties with tangency conditions

Yu-jong Tzeng|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 다양체 위의 매끄러운 분할에 대해 특정 접촉 조건을 갖는 특이 부분다양체를 세는 데 사용할 수 있는 대수적 cobordism 프레임워크를 개발한다. 약화 조건이 만족될 경우, 이러한 부분다양체의 수는 체른 불변량에 대한 유니버설 다항식에 의해 결정됨을 증명하며, 이는 Severi 차수, Caporaso-Harris 불변량, Göttsche의 추측, De Jonquière의 공식을 생성함수 호모모르피즘을 통해 하나의 대수적 cobordism 군에서 멱급수 환으로의 사상으로 일반화한다.

ABSTRACT

We construct the algebraic cobordism theory of bundles and divisors on smooth varieties. It has a simple basis (over Q) from projective spaces and its rank is equal to the number of Chern invariants. As an application we study the number of singular subvarieties satisfying given tangent conditions with a fixed smooth divisor, where the subvariety is the zero locus of a section of a vector bundle. We prove that the generating series gives a homomorphism from the algebraic cobordism group to the power series ring. This implies that the number of singular subvarieties with tangency conditions is governed by universal polynomials of Chern numbers, when the vector bundle is sufficiently ample. This result combines and generalizes the Caporaso-Harris and Vakil's recursive formulae, Gottsche's conjecture, De Jonquiere's Formula and relative node polynomials from tropical geometry. In the revised version, we allow the tangency conditions to be at assigned and unassigned points and prove the existence of universal polynomials and a formula for generating series. This completes the most general case of such enumeration of singular varieties for any dimension. We also correct the proof in Section 5, 6 when the divisor D is not irreducible, and Theorem 2.2. Typos are corrected.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 분할에 대해 접촉 조건을 갖는 고차원 다양체 위에서 Caporaso-Harris 불변량을 확장한다.
• 벡터 번들의 충분한 약화 조건이 만족될 경우, 주어진 접촉 조건과 특이성 조건을 만족하는 특이 부분다양체의 수가 체른 불변량에 대한 유니버설 다항식에 의해 결정됨을 입증한다.
• 서베이 차수, Göttsche의 추측, 타원적 상대 노드 다항식 등 다양한 곡선 수세기 결과를 하나의 대수적 cobordism 이론적 프레임워크로 통합한다.
• 지정된 점과 미지정된 점에서 고립된 완전교차 특이점(ICIS)을 통해 접촉 조건을 정의하고 형식화하여, 비준거성 또는 기대치와 다른 차원의 교차를 피한다.

제안 방법

• 매끄러운 다양체 위의 벡터 번들과 분할에 대해 대수적 cobordism 이론을 구성하며, 사영 공간을 기반으로 ℚ 위에서의 기초를 제공한다.
• 부분다양체 X와 매끄러운 분할 D의 스킴 이론적 교차 X ∩ D의 특이성 유형을 통해 접촉 조건을 정의한다.
• 특정 특이성과 접촉 유형을 갖는 부분다양체의 수를 셀 수 있도록, 대수적 cobordism 군에서 멱급수 환으로의 호모모르피즘으로서 생성함수 T_α(Y,D,E)를 도입한다.
• Hilbert 스킴을 이용해 이러한 부분다양체의 수를 교차 수로 표현함으로써 유니버설리티를 증명한다.
• 이 프레임워크를 적용하여 기존 결과를 복원: Caporaso-Harris 불변량, De Jonquière의 공식, δ-노달 곡선에 대한 유니버설 다항식.
• 대수적 cobordism 군의 구조를 활용하여 생성함수의 계수가 체른 수에 대한 유니버설 다항식임을 보여, 배경 다양체에 관계없이 일관되게 유지됨을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벡터 번들의 충분한 약화 조건이 만족될 경우, 주어진 접촉 조건을 갖는 특이 부분다양체의 수는 체른 불변량에 대한 유니버설 다항식으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 Caporaso-Harris 불변량, Göttsche의 추측, De Jonquière의 공식은 대수적 cobordism을 통해 어떻게 통합된 프레임워크에 포함되는가?
• RQ3 고차원에서 접촉 조건을 특성화하는 데 있어 고립된 완전교차 특이점(ICIS)의 역할은 무엇인가?
• RQ4 이러한 불변량의 생성함수는 대수적 cobordism 군에서 멱급수 환으로의 호모모르피즘을 형성하는가?
• RQ5 특수한 경우, 예를 들어 Calabi–Yau 3-다양체나 로그 캐논리컬 다양체에서 생성함수에 닫힌 표현식 또는 모듈러 유형의 구조가 존재하는가?

주요 결과

• 생성함수 T_α(Y,D,E)는 대수적 cobordism 군에서 멱급수 환으로의 호모모르피즘으로서, 불변량의 유니버설리티를 증명한다.
• 벡터 번들의 충분한 약화 조건이 만족될 경우, 주어진 접촉 및 특이성 유형을 갖는 특이 부분다양체의 수는 체른 불변량 c_1(E)^n, c_1(E)^{n-1}c_1(K_Y) 등에 대한 유니버설 다항식이다.
• 이 프레임워크는 기존 결과를 복원하고 일반화한다: Severi 차수, Göttsche의 추측, Caporaso-Harris 불변량, De Jonquière의 공식이 특수한 경우로 포함된다.
• 생성함수 T_α의 계수는 심지어 사이클 Y(α,β,δ)가 매우 특이한 경우에도 Hilbert 스킴 상의 교차 수에 의해 결정된다.
• δ ≤ 14인 경우, 토폴로지 기하학과 알고리즘적 방법을 통해 δ-노달 곡선에 대한 유니버설 다항식이 계산되었으며, 이는 유니버설 프레임워크와 일관된다.
• 이 방법은 노달 특이성 외의 임의의 해석적 특이성과 ICIS로 표현된 접촉 조건에도 적용 가능하여, 이를 초월한다.