[논문 리뷰] Enumeration of spin-space groups: Towards a complete description of symmetries of magnetic orders

Yi Jiang, Ziyin Song외 6명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 19.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 53인용 수 8

한 줄 요약

본 논문은 공간군의 불변 부분군과 몫군의 3차원 실수 표현으로부터 SSGs를 구성하여 스핀-공간 군(SSGs)을 체계적으로 나열하고, 포괄적인 온라인 데이터베이스와 자기 물질에서 SSG를 식별하는 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

Symmetries of three-dimensional periodic scalar fields are described by 230 space groups (SGs). Symmetries of three-dimensional periodic (pseudo-) vector fields, however, are described by the spin-space groups (SSGs), which were initially used to describe the symmetries of magnetic orders. In SSGs, the real-space and spin degrees of freedom are unlocked in the sense that an operation could have different spacial and spin rotations. SSGs gives a complete symmetry description of magnetic structures, and have natural applications in the band theory of itinerary electrons in magnetically ordered systems with weak spin-orbit coupling. Altermagnetism, a concept raised recently that belongs to the symmetry-compensated collinear magnetic orders but has non-relativistic spin splitting, is well described by SSGs. Due to the vast number and complicated group structures, SSGs have not yet been systematically enumerated. In this work, we exhaust SSGs based on the invariant subgroups of SGs, with spin operations constructed from three-dimensional (3D) real representations of the quotient groups for the invariant subgroups. For collinear and coplanar magnetic orders, the spin operations can be reduced into lower dimensional real representations. As the number of SSGs is infinite, we only consider SSGs that describe magnetic unit cells up to 12 times crystal unit cells. We obtain 157,289 non-coplanar, 24,788 coplanar-non-collinear, and 1,421 collinear SSGs. The enumerated SSGs are stored in an online database at \url{https://cmpdc.iphy.ac.cn/ssg} with a user-friendly interface. We also develop an algorithm to identify SSG for realistic materials and find SSGs for 1,626 magnetic materials. Our results serve as a solid starting point for further studies of symmetry and topology in magnetically ordered materials.

연구 동기 및 목표

• SSGs를 통한 자성 순서의 완전한 대칭 설명을 제공한다.
• 230개의 공간군의 불변 부분군과 몫군 표현을 활용하여 SSG를 열거한다.
• 실제 자성 물질에 SSG를 할당하기 위한 공개 데이터베이스와 실용적 알고리즘을 제공한다.

제안 방법

• 스핀-공간 군을 격자 작용과 스핀 회전에 대한 3D 실수 표현을 결합한 확장으로 정의한다.
• 각 공간군 G의 불변 부분군 H를 열거하고 몫군 Q=G/H가 점군과 동형임을 계산한다.
• G(S)=⊔α{Uα||Rα|tα}H로 SSG를 생성하기 위해 Q의 3D 실수 표현을 할당하되 스핀 부분 Uα는 O(3) 내에 있다.
• Q에 대해 각각 1D 또는 2D 실수 표현을 사용하여 선형(collinear) 및 평면적 순서를 처리한다.
• 자성 격자 단위를 결정 격자 단위의 최대 12배로 제한하여 유한한 카탈로그를 얻는다.
• SSG의 온라인 데이터베이스를 제공하고 재료 데이터베이스에서 SSG를 식별하는 알고리즘을 개발한다.

Figure 1: Illustration of space groups (SGs), magnetic space groups (MSGs), and spin-space groups (SSGs). (a) A $C_{4}$ -symmetric atomic configuration, generated by the SG operation $C_{4}$ . (b) A magnetic order generated by the MSG operation $\{C_{4}||C_{4}\}$ , where the real-space $C_{4}$ is ac

실험 결과

연구 질문

• RQ1 230개의 공간군으로부터 스핀-공간 군을 포괄적으로 열거하는 방법은?
• RQ2 다른 자성 순서 유형(비평면, 평면-비선형, 일직선)에 대한 SSG의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 자성 단위를 계산 가능한 범위(≤12× 결정 격자)로 제한하여 실용적인 유한 카탈로그를 생성할 수 있는가?
• RQ4 실제 자성 물질에 대해 결정 알고리즘을 사용하여 SSG를 어떻게 식별할 수 있는가?

주요 결과

• 157,289개의 비평면 SSG를 확인했다.
• 24,788개의 평면-비선형 SSG를 확인했다.
• 1,421개의 일직선 SSG를 확인했다.
• 몫군이 결정학적 점군인 특수 케이스에서 12× 한도 내에서 68,922개의 비평면 SSG를 얻는다.
• 열거된 SSG를 위한 ssg(및 참조 사이트)에서 온라인 데이터베이스를 개발했다.
• Bilbao Crystallographic Server 같은 데이터셋에서 알고리즘을 적용하여 1,626개의 정합 자성 물질에 대해 SSG를 찾는다.

Figure 2: Flowchart of the algorithm for constructing spin-space groups. We use $\{R_{\alpha}|\bm{t}_{\alpha}\}$ to represent operations in the quotient group $Q$ , where the translation part $\bm{t}_{\alpha}=\bm{\tau}_{\alpha}+\bm{R}_{n}$ is the original translation part $\bm{\tau}_{\alpha}$ associ