[논문 리뷰] Enumerative Algorithms for the Shortest and Closest Lattice Vector Problems in Any Norm via M-Ellipsoid Coverings

Daniel Dadush, Chris Peikert외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 25.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 46인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 M-타원체 커버링을 사용하여 임의의 노름에서 정규화된 2^O(n)-시간 알고리즘을 제시하며, 이는 임의의 노름에서 정확한 최단 벡터 문제(SVP)와 가장 가까운 벡터 문제(CVP)를 해결한다. 이 방법은 격자 점 수를 유한한 수의 구조적 부분 문제로 환원하기 위해 M-타원체 커버링을 활용한다. 접근 방식은 이전의 스크린 알고리즘을 비확률적으로 전환하며, 최근의 ℓ2-노름 SVP 알고리즘을 활용한다. 특히 ℓp와 같은 주요 노름에 대해 노름 특화된 조언은 2^O(n) 시간 내에 계산 가능하다.

ABSTRACT

We give an algorithm for solving the exact Shortest Vector Problem in n-dimensional lattices, in any norm, in deterministic 2 O(n) time (and space), given poly(n)-sized advice that depends only on the norm. In many norms of interest, including all ℓp norms, the advice is efficiently and deterministically computable, and in general we give a randomized algorithm to compute it in expected 2 O(n) time. We also give an algorithm for solving the exact Closest Vector Problem in 2 O(n) time and space, when the target point is within any constant factor of the minimum distance of the lattice. Our approach may be seen as a derandomization of ‘sieve ’ algorithms for exact SVP and CVP (Ajtai, Kumar, and Sivakumar; STOC 2001 and CCC 2002), and uses as a crucial subroutine the recent deterministic algorithm of Micciancio and Voulgaris (STOC 2010) for lattice problems in the ℓ2 norm. Our main technique is to reduce the enumeration of lattice points in an arbitrary convex body K to enumeration in 2 O(n) copies of an M-ellipsoid of K, a classical concept in asymptotic convex geometry. Building on the techniques of Klartag (Geometric and Functional Analysis, 2006), we also give an expected 2 O(n)-time algorithm to compute an M-ellipsoid covering of any convex body, which may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 임의의 노름에서 2^O(n) 시간과 공간 내에서 정확한 최단 벡터 문제(SVP)를 해결하는 결정론적 알고리즘을 개발하는 것.
• 목표가 임의의 노름에서 최단 거리의 상수 배 이내에 있는 경우, 이 접근 방식을 정확한 가장 가까운 벡터 문제(CVP)로 확장하는 것.
• Ajtai, Kumar, 및 Sivakumar의 SVP 및 CVP에 대한 랜덤화된 스크린 알고리즘에 대한 비확률적 대안을 제공하는 것.
• 일반적인 노름, 예를 들어 ℓp와 같은 경우에 대해 효율적인 실현 가능성을 보장하기 위해 노름 특화 조언을 효율적으로 계산할 수 있도록 하는 것.
• 임의의 볼록체에서 격자 점 수를 유한한 수의 부분 문제로 환원하는 일반적 프레임워크를 구축하는 것 — M-타원체 커버링을 기반으로 한다.

제안 방법

• 기하학적 커버링 기법을 활용하여 임의의 볼록체 K에서 격자 점을 수록하는 문제를 M-타원체 K의 2^O(n)개 복사본에서 점을 수록하는 문제로 환원한다.
• 원래의 볼록체를 단순화하고 부분 문제의 수를 유한하게 유지하기 위해 M-타원체를 대칭적이고 잘 둥근 근사로 사용한다.
• M-타원체 내부의 부분 문제를 해결하기 위한 핵심 서브루틴으로, Micciancio와 Voulgaris의 결정론적 ℓ2-노름 SVP 알고리즘을 적용한다.
• Klartag의 渐近적 볼록 기하 기법을 기반으로 한 랜덤화 알고리즘을 사용하여 임의의 볼록체에 대한 M-타원체 커버링을 기대값 2^O(n) 시간 내에 계산한다.
• ℓp 노름과 기타 일반적인 노름에 대해 노름 특화 조언을 결정론적으로 2^O(n) 시간 내에 계산하여 주요 알고리즘의 효율적 적용을 가능하게 한다.
• 랜덤 샘플링을 M-타원체 커버링을 통한 구조적 수색으로 대체하여 스크린 접근 방식을 비확률적으로 전환함으로써 결정론적 시간 복잡도를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 노름에서 SVP 및 CVP는 ℓ2 노름 외에도 결정론적으로 2^O(n) 시간 내에 해결될 수 있는가?
• RQ2 M-타원체 커버링은 임의의 볼록체에서 격자 점 수의 복잡도를 어떻게 감소시킬 수 있는가?
• RQ3 이 알고리즘에 필요한 노름 특화 조언을 생성하는 데 드는 계산 비용은 얼마이며, ℓp와 같은 일반적인 노름에 대해 효율적으로 수행될 수 있는가?
• RQ4 랜덤 알고리즘이 임의의 볼록체에 대해 M-타원체 커버링을 기대값 2^O(n) 시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ5 기하학적 커버링 구조를 사용하여 Ajtai, Kumar, 및 Sivakumar의 원래 랜덤 스크린 접근 방식을 SVP 및 CVP 문제에서 얼마나 잘 비확률화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 노름에서 정확한 최단 벡터 문제(SVP)에 대해 결정론적 2^O(n)-시간 알고리즘을 달성하였으며, 공간 복잡도 역시 2^O(n)로 제한된다.
• 가장 가까운 벡터 문제(CVP)의 경우, 목표가 격자 최소 거리의 상수 배 이내에 있을 때 알고리즘이 2^O(n) 시간과 공간 내에서 작동한다.
• 이 알고리즘에 필요한 노름 특화 조언은 모든 ℓp 노름과 기타 일반적인 노름에 대해 2^O(n) 시간 내에 계산 가능하여 실용적 구현이 가능하다.
• 임의의 볼록체에 대한 M-타원체 커버링을 계산하는 기대값 2^O(n)-시간의 랜덤 알고리즘이 제공되며, 이는 볼록 기하학 분야에서 별도의 관심을 끌 수 있다.
• Ajtai, Kumar, 및 Sivakumar의 원래 스크린 알고리즘은 M-타원체 커버링을 통한 구조적 수색으로 랜덤 샘플링을 대체함으로써 성공적으로 비확률화되었다.
• M-타원체의 사용은 부분 문제의 수를 2^O(n)으로 감소시켜 전체 시간 복잡도가 제시된 범위 내에 유지됨을 보장한다.