[논문 리뷰] Envy-freeness up to any item with high Nash welfare: The virtue of donating items

Ioannis Caragiannis, Nick Gravin외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 12.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 33인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 최대 네쉬 복리 할당에서 시작하여 일부 항목을 자선에 기부함으로써 높은 네쉬 복리와 함께 어떤 항목에 대해서도 선호 없이(efx)를 달성하는 새로운 알고리즘을 제안한다. 최대 네쉬 복리 할당에서 시작하여, 공정한 EFX 할당이 가능한 나머지 항목에 대해 일부 항목을 제거함으로써, 최소한 최적의 네쉬 복리의 절반을 보장하는 EFX 할당을 도출한다. 이는 날카로운 경계임을 증명하였다. 또한, $ $-근사 입력을 사용할 경우, 다항시간 내에 최적에 대해 $2 ho$ 배 이내의 EFX 할당을 얻을 수 있다.

ABSTRACT

Several fairness concepts have been proposed recently in attempts to approximate envy-freeness in settings with indivisible goods. Among them, the concept of envy-freeness up to any item (EFX) is arguably the closest to envy-freeness. Unfortunately, EFX allocations are not known to exist except in a few special cases. We make significant progress in this direction. We show that for every instance with additive valuations, there is an EFX allocation of a subset of items with a Nash welfare that is at least half of the maximum possible Nash welfare for the original set of items. That is, after donating some items to a charity, one can distribute the remaining items in a fair way with high efficiency. This bound is proved to be best possible. Our proof is constructive and highlights the importance of maximum Nash welfare allocation. Starting with such an allocation, our algorithm decides which items to donate and redistributes the initial bundles to the agents, eventually obtaining an allocation with the claimed efficiency guarantee. The application of our algorithm to large markets, where the valuations of an agent for every item is relatively small, yields EFX with almost optimal Nash welfare. To the best of our knowledge, this is the first use of large market assumptions in the fair division literature. We also show that our algorithm can be modified to compute, in polynomial-time, EFX allocations that approximate optimal Nash welfare within a factor of at most $2ρ$, using a $ρ$-approximate allocation on input instead of the maximum Nash welfare one.

연구 동기 및 목표

• 불가분 상품에 대해 높은 효율성을 갖는 EFX 할당 존재성 문제를 해결하기 위해.
• 선택된 항목을 기부함으로써 EFX 공정성을 달성하면서도 높은 네쉬 복리를 유지하는 구조적 알고리즘을 개발하기 위해.
• 결과로 얻어진 네쉬 복리가 최적의 가능한 것의 최소 절반 이상임을 증명하기 위해.
• 입력으로 $ $-근사 할당을 사용할 수 있도록 프레임워크를 확장하여 효율 손실을 유한하게 유지하기 위해.
• 대규모 시장 가정을 공정 분할 분야에서 새로운 도구로 도입하여 대규모 설정에서 거의 최적의 효율성 확보를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 최대 네쉬 복리 할당에서 시작하며, 이는 파레토 최적성과 EF1를 만족한다.
• 남은 항목에 대해 EFX 공정성을 달성할 수 있도록 일부 항목의 집합을 식별하고 제거(기부)한다.
• 평가 구조와 공정성 제약 조건을 기반으로 동적으로 기부할 항목을 선택하는 구조적 알고리즘을 사용한다.
• 네쉬 복리의 척도 불변성 및 효율성 특성을 활용하여 기부 결정과 패키지 재배분을 이끌어낸다.
• 남은 항목을 재분배하기 위해 局소 검색 메커니즘을 적용하여 EFX 만족을 보장한다.
• 중위수 기반 평가 순서 분석과 카라마타 부등식을 사용하여, 결과 네쉬 복리가 최적의 최소 절반 이상임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래의 항목 집합에서 일부 항목을 제거함으로써, 높은 네쉬 복리와 함께 EFX 할당을 달성할 수 있는가?
• RQ2 남은 항목에 대해 EFX 공정성을 달성할 수 있도록 기부할 항목을 구조적으로 식별할 수 있는 방법이 있는가?
• RQ3 항목 기부 후 EFX 할당에 대해 달성 가능한 네쉬 복리의 최선의 보장은 무엇인가?
• RQ4 알고리즘이 효율 손실을 유한하게 유지하면서도 근사 입력을 사용하도록 적응 가능할 수 있는가?
• RQ5 대규모 시장 가정은 EFX 할당에서 더 강력한 효율성 보장을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 알고리즘은 원래 항목 집합에 대해 최적의 네쉬 복리의 최소 절반 이상을 확보하는 EFX 할당을 보장한다.
• 이 1/2의 경계는 날카로운 것으로 입증되었으며, 이보다 더 나은 최악의 경우 보장은 불가능하다.
• 대규모 시장에서는 개인의 평가가 총 가치에 비해 작을 경우, 알고리즘은 거의 최적의 네쉬 복리로 EFX를 달성한다.
• 이 방법은 임의의 $ $-근사 할당을 입력으로 사용할 수 있으며, 이 경우 최적에 대해 $2\rho$ 배 이내의 네쉬 복리로 EFX 할당을 얻을 수 있다.
• 알고리즘은 다항시간 내에 실행되며, 최적의 네쉬 복리에 대해 상수 요인 내에서 근사하는 첫 번째 알려진 다항시간 EFX 할당 방법을 제공한다.
• 논문은 대규모 시장 가정을 공정 분할 분야에서 새로운 분석 도구로 도입하여 더 강력한 효율성 보장을 가능하게 하였다.