[논문 리뷰] $\epsilon$-Monotone Fourier Methods for Optimal Stochastic Control in Finance

Peter Forsyth, George Labahn|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 금융 분야의 최적 확률 제어 문제를 위해 녹색 함수를 선형 기저 함수에 투영함으로써 사용자 정의 허용 오차 내에서 단조성을 보장하는 에프릴론-단조성 푸리에 방법을 제안한다. 이 방법은 표준 푸리에 방법의 계산 효율성을 유지하면서도 단조성, ℓ∞-안정성 및 이산 비교 원칙을 보장하여, 가치 함수 비교를 포함한 제어 문제에서 신뢰할 수 있는 사용이 가능하다.

ABSTRACT

Stochastic control problems in finance often involve complex controls at discrete times. As a result numerically solving such problems, for example using methods based on partial differential or integro-differential equations, inevitably give rise to low order accuracy, usually at most second order. In many cases one can make use of Fourier methods to efficiently advance solutions between control monitoring dates and then apply numerical optimization methods across decision times. However Fourier methods are not monotone and as a result give rise to possible violations of arbitrage inequalities. This is problematic in the context of control problems, where the control is determined by comparing value functions. In this paper we give a preprocessing step for Fourier methods which involves projecting the Green's function onto the set of linear basis functions. The resulting algorithm is guaranteed to be monotone (to within a tolerance), $\ell_\infty$-stable and satisfies an $\epsilon$-discrete comparison principle. In addition the algorithm has the same complexity per step as a standard Fourier method while at the same time having second order accuracy for smooth problems.

연구 동기 및 목표

• 기존의 푸리에 방법(FST/CONV/COS)에서 단조성이 부족하여 최적 제어 문제에서 무위험 이론 불등식을 위반할 수 있는 문제를 해결하기 위해.
• 녹색 함수를 선형 기저 함수에 투영함으로써 사용자 지정 허용 오차 내에서 단조성을 보장하는 사전처리 단계를 개발하기 위해.
• 표준 푸리에 방법과 동일한 시간 단계당 계산 복잡도를 유지하면서도 매끄러운 문제에 대해 이중 정확도를 달성하기 위해.
• 특히 이산 결정 시점과 가치 함수 비교를 포함한 최적 확률 제어 문제의 강력하고 신뢰할 수 있는 수치적 해법을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 물리 공간에서 녹색 함수를 조건부 푸리에 급수를 사용하여 선형 기저 함수 집합에 투영함으로써 사전처리를 수행한다.
• 제어된 절단을 통해 이산 푸리에 변환을 이용하여 투영된 녹색 함수를 계산함으로써 비음성과 유한한 오차를 보장한다.
• 에프릴론-허용 오차를 고려한 이산 비교 원칙을 적용하여 도출된 스킴의 단조성을 보장한다.
• 수정된 녹색 함수를 푸리에 시간 스텝 프레임워크에 적용하여 제어 감시 일자 간 해를 진행시킨다.
• 단조성 스킴을 수치 최적화와 통합하여 각 결정 지점에서 최적 제어를 결정한다.
• 수렴성 및 단조성 테스트, 특히 절단 급수의 오차 한계와 안정성 검사를 통해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적 확률 제어 문제에서 계산 효율성을 잃지 않고도 사용자 지정 허용 오차 내에서 푸리에 방법을 단조성으로 만들 수 있는가?
• RQ2 녹색 함수를 선형 기저 함수에 투영하는 것이 푸리에 기반 시간 스텝 스킴의 안정성과 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 제안된 사전처리 단계가 매끄러운 문제에 대해 기존 푸리에 방법의 이중 수렴 속도를 어느 정도 유지하는가?
• RQ4 결과로 도출된 스킴이 에프릴론-이산 비교 원칙을 만족하여 가치 함수 비교에서 신뢰성 확보가 가능한가?
• RQ5 기존의 FST/CONV 소프트웨어에 효율적으로 통합될 수 있으며, 최소한의 구현 오버헤드를 유발하는가?

주요 결과

• 제안된 사전처리 단계는 결과로 도출된 푸리에 스킴이 사용자 정의 허용 오차 내에서 단조성을 확보하여 무위험 이론 불등식 위반을 방지한다.
• 이 방법은 ℓ∞-안정성을 확보하고 에프릴론-이산 비교 원칙을 만족하여 신뢰할 수 있는 최적 제어 계산에 필수적이다.
• 알고리즘은 표준 FST/CONV 방법과 동일한 시간 단계당 계산 복잡도를 유지하여 효율성을 그대로 보존한다.
• 매끄러운 문제에 대해서는 이중 정확도를 유지하며, 고전적인 유한 차분 스킴의 수렴 속도와 동일하다.
• 수치 실험 결과, 절단 파rameter α(예: α = 2, 4)의 중간 값에서 반복 오차 수준 이내로 단조성과 정확도 조건이 충족됨을 확인하였다.
• 투영된 녹색 함수의 절단된 푸리에 급수에서 오차는 절단 수를 증가시킬수록 지수적으로 감소하며, 수렴성과 강건성을 뒷받침한다.