[논문 리뷰] Epstein-Zin Utility Maximization on a Random Horizon

Joshua Aurand, Yu‐Jui Huang|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 71인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 초과선형 성장이 있는 후행 확률미분방정식(BSDE)을 사용하여 무한한 랜덤 수명 주기에서 Epstein-Zin 선호도 하의 소비-투자 문제를 해결한다. 추가적인 확률과정 $\hat{Z}$ 를 도입하여 랜덤 퇴출 시간의 영향을 기록하며, 이러한 수명 주기가 고정 수명 주기 모델과 비교해 최적 전략을 근본적으로 변화시킴을 보여준다. 특히 간섭 탄력성(EIS)에 대한 민감도에서 두드러진 차이를 보인다.

ABSTRACT

This paper solves the consumption-investment problem under Epstein-Zin preferences on a random horizon. In an incomplete market, we take the random horizon to be a stopping time adapted to the market filtration, generated by all observable, but not necessarily tradable, state processes. Contrary to prior studies, we do not impose any fixed upper bound for the random horizon, allowing for truly unbounded ones. Focusing on the empirically relevant case where the risk aversion and the elasticity of intertemporal substitution are both larger than one, we characterize the optimal consumption and investment strategies using backward stochastic differential equations with superlinear growth on unbounded random horizons. This characterization, compared with the classical fixed-horizon result, involves an additional stochastic process that serves to capture the randomness of the horizon. As demonstrated in two concrete examples, changing from a fixed horizon to a random one drastically alters the optimal strategies.

연구 동기 및 목표

• 계획 수명 주기가 고정이 아닌 랜덤일 경우 Epstein-Zin 선호도 하에서 최적 소비-투자 문제에 대한 기존 연구의 격차를 보완하기 위해.
• 제한된 랜덤 수명 주기라는 가정을 완화하여 불완전 시장에서 진정으로 무한한 정지 시간을 允허하기 위해.
• 무한한 랜덤 수명 주기에서 비균일한 초과선형 성장이 있는 후행 확률미분방정식(BSDE)을 사용하여 최적 전략을 특성화하기 위해.
• 랜덤 수명 주기에서 고정 수명 주기 기준과 비교해 최적 소비 및 투자 정책이 어떻게 근본적으로 변화하는지 보여주기 위해.
• 이전 결과가 유한한 수명 주기 또는 균일한 성장 조건을 필요로 하였던 바탕에서, 무한한 랜덤 수명 주기와 비균일한 초과선형 성장 조건을 다룰 수 있도록 기존 BSDE 이론을 확장하기 위해.

제안 방법

• 관측 가능한 상태 과정(그러나 반드시 거래 가능한 것은 아님)에 의해 생성된 시장 필터레이션에 대해 적응적인 정지 시간 $\tau$ 로서의 랜덤 수명 주기를 갖는 불완전 시장에서 문제를 수립하기 위해.
• 절단 방법을 사용: 유한 구간 $[0,n]$ 에서의 BSDE 수열을 정의하여 무한한 수명 주기를 다루며, 고정 수명 주기에서의 초과선형 성장이 있는 BSDE에 대한 기존 결과를 활용하기 위해.
• 유한한 수명 주기에서의 해가 완비된 확률과정 공간에서 코시 수열을 이룰 수 있음을 보여, 랜덤 수명 주기 BSDE의 해 존재성을 증명하기 위해.
• 고정 수명 주기 설정에서는 존재하지 않는, 랜덤 수명 주기의 영향을 최적 전략에 반영하는 새로운 확률과정 $\hat{Z}$ 를 도입하기 위해.
• 전략적 변화를 설명하기 위해 두 가지 구체적 모델에 적용하기 위해: 기업의 랜덤 디폴처 시간과 Heston 확률적 변동성 모델.
• Heston 모델에서 생존 확률을 구하기 위해 푸리에 급수와 리카티 방정식을 사용하여, $\tau$ 의 지수적 모멘트 조건을 검증할 수 있도록 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실제로 무한한 랜덤 수명 주기를 允허할 경우, $\gamma, \psi > 1$ 인 Epstein-Zin 선호도 하에서 최적 소비 및 투자 전략은 어떻게 변화하는가?
• RQ2 랜덤 수명 주기에서 최적 전략을 특성화하기 위해 어떤 새로운 확률 성분이 필요하며, 이는 고정 수명 주기 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 퇴출 시간이 고정된 경우와는 달리 랜덤일 경우, 간섭 탄력성(EIS)의 변화에 따라 최적 투자 비율은 어떻게 반응하는가?
• RQ4 시장의 불완전성과 랜덤 퇴출 시간이 존재하는 조건에서, 비균일한 초과선형 성장이 있는 후행 확률미분방정식으로 최적 전략를 표현할 수 있는가?
• RQ5 무한한 $\tau$ 를 가진 랜덤 수명 주기 설정에서 $c < c^*$ 인 경우, 지수 모멘트 $\mathbb{E}[e^{c\tau}]$ 의 유한성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 랜덤 수명 주기에서 최적 소비 및 투자 전략은 고정 수명 주기에서는 존재하지 않는 추가적인 과정 $\hat{Z}$ 를 포함하며, 이는 랜덤 퇴출 시간의 동적 영향을 기록한다.
• 랜덤 디폴처 시간 모델에서, 고정 수명 주기 경우와 비교해 최적 소비 및 투자 수준이 감소하며, 기업이 디폴처에 가까워질수록 감소 폭이 더 커진다.
• 랜덤 수명 주기 하에서는 간섭 탄력성(EIS) $\psi$ 가 증가함에 따라 최적 투자 비율이 증가하는 반면, 고정 수명 주기에서는 일반적으로 민감도가 없거나 감소하는 경향이므로 이는 반대 방향의 변화를 보인다.
• Heston 확률적 변동성 모델에서, 퇴출 시간이 랜덤일 경우 최적 투자 비율이 시장 상태(변동성과 가격 수준)의 함수로 표현되며, 일정한 값이 아닌 형태로 변한다.
• 수명 주기를 절단하고 해 수열의 수렴성을 증명함으로써, 비균일한 초과선형 성장이 있는 랜덤 수명 주기 BSDE의 해 존재성을 확립하였다.
• Heston 모델에서의 생존 확률은 리카티 방정식의 해를 포함하는 푸리에 급수로 표현되며, 이는 $\mathbb{E}[e^{c\tau}] < ∞$ for $c < c^*$ 임을 증명할 수 있게 하여, 효용 과정의 타당성에 필수적인 조건을 확보한다.