[논문 리뷰] Equality of hemisphere soft functions for $e^+e^-$, DIS and $pp$ collisions at $\mathcal{O}(α_s^2)$

Daekyoung Kang, Ou Z. Labun외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 15.

High-Energy Particle Collisions Research인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $e^+e^-$, 깊은 비탄성 산란(DIS), 및 $pp$ 충돌에서 반구역 소프트 함수가 양자 양성장론의 섭동 이론에서 $\mathcal{O}(\alpha_s^2)$ 차수까지 동일하다는 것을 보여준다. 이는 입사 입자와 탈출 입자에 대해 eikonal 보편화 함수의 $i\epsilon$ 규정 방식이 다름에도 불구하고 성립한다. 등식은 복소수 켤레 도형을 합할 때 반대되는 $i\epsilon$ 부호로 인한 허수 부분이 상쇄되어, $e^+e^-$에서와 동일한 실수 소프트 함수를 얻기 때문에 발생하며, 이는 DIS 및 Drell-Yan 과정에서의 N$^3$LL 스케일링을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present a simple observation about soft amplitudes and soft functions appearing in factorizable cross sections in $ee$, $ep$, and $pp$ collisions that has not clearly been made in previous literature, namely, that the hemisphere soft functions that appear in event shape distributions in $e^+e^- o$ dijets, deep inelastic scattering (DIS), and in Drell-Yan (DY) processes are equal in perturbation theory up to $\mathcal{O}(α_s^2)$, even though individual amplitudes may have opposite sign imaginary parts due to changing complex pole prescriptions in eikonal propagators for incoming vs. outgoing lines. We also explore potential generalizations of this observation to soft functions for other observables or with more jets in the final state.

연구 동기 및 목표

• eikonal 보편화 함수의 복소 극에 대한 반대되는 $i\epsilon$ 규정 방식으로 인해 $e^+e^-$, DIS, 및 $pp$ 충돌에서 소프트 함수가 $\mathcal{O}(\alpha_s^2)$에서 다를 수 있는지에 대한 오랫동안 지속된 의문을 해결하기 위해.
• 다양한 입자 충돌 과정에서 반구역 소프트 함수의 보편성을 확립하여, 이벤트 형상 스케일링에서 N$^3$LL 정확도를 달성하는 데 필수적인 요소를 제공하기 위해.
• 다른 $i\epsilon$ 규정 방식으로 인한 허수 부분이 복소수 켤레 도형을 합할 때 상쇄되어 실수 소프트 함수가 동일하게 남는다는 엄밀한 섭동 계산을 제공하기 위해.
• 이전에 $e^+e^-$에 국한되었던 고정밀 QCD 계산을 DIS 및 Drell-Yan 과정으로 확장할 수 있도록 동일한 소프트 함수를 사용할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 입사 비드를 향한 윌슨 라인을 사용한 소프트-콜라인 효과 이론(SCET)을 적용하여 DIS 및 $pp$ 충돌에서 $\mathcal{O}(\alpha_s^2)$ 소프트 함수를 계산한다.
• eikonal 보편화 함수의 특이성을 다루기 위해 주값 및 $i\epsilon$ 규정 방식을 적용하여 탈출 입자(예: $e^+e^-$)와 입사 입자(예: DIS, $pp$)를 구분한다.
• 특이성이 $q^+ = k^+$에서 발생하는 것을 일관되게 다루기 위해 매개수 $\eta$를 사용하는 대칭 정규화 체계를 도입한다.
• 피카르드 파라미터화 및 차원 정규화를 통해 루프 적분을 평가하고, 진폭의 실수 및 허수 부분을 모두 계산한다.
• 진폭과 그 복소수 켤레를 합하여 허수 부분을 상쇄시키고 실수 소프트 함수를 추출하며, 이는 $e^+e^-$ 결과와 일치한다.
• 기존의 일중소프트 전류를 복구하고 $e^+e^-$ 소프트 함수 결과와 일치함을 확인함으로써 일관성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 eikonal 보편화 함수의 반대되는 $i\epsilon$ 부호로 인해 $e^+e^-$, DIS, 및 $pp$ 충돌에서 반구역 소프트 함수가 $\mathcal{O}(\alpha_s^2)$에서 다를까?
• RQ2 다른 복소 극 규정 방식으로 인한 허수 부분이 복소수 켤레 도형을 합할 때 상쇄되어 동일한 실수 소프트 함수로 남을까?
• RQ3 $\mathcal{O}(\alpha_s^2)$에서 DIS 및 Drell-Yan 과정의 소프트 함수가 $e^+e^-$ 충돌과 동일한가? 이는 보편적인 스케일링을 가능하게 하는가?
• RQ4 섭동 소프트 함수에서 입사 입자와 탈출 입자에 대한 소프트 윌슨 라인의 $i\epsilon$ 규정 방식은 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• eikonal 보편화 함수의 $i\epsilon$ 규정 방식이 다름에도 불구하고, $e^+e^-$, DIS, 및 $pp$ 충돌에서 반구역 소프트 함수는 $\mathcal{O}(\alpha_s^2)$에서 동일하다.
• 반대되는 $i\epsilon$ 부호로 인한 허수 부분은 복소수 켤레 도형을 합할 때 상쇄되어 실수 부분만 남으며, 이는 $e^+e^-$ 소프트 함수와 정확히 일치한다.
• DIS 및 $pp$ 충돌에서 계산된 소프트 함수는 기존의 $\mathcal{O}(\alpha_s^2)$ $e^+e^-$ 결과를 재현하며, $\delta(\ell_1)/\ell_2^{1+4\epsilon}$ 및 $\delta(\ell_2)/\ell_1^{1+4\epsilon}$ 항을 포함한다.
• 소프트 함수의 실수 부분은 $\mathcal{O}(\alpha_s^2)$ 보정항을 포함하며, $-\frac{2}{\epsilon^2} + \pi^2 + \frac{16\zeta_3}{3}\epsilon - \frac{\pi^4}{60}\epsilon^2$로 표현되며, $e^+e^-$의 경우와 정확히 일치한다.
• 허수 부분은 $\pm i\pi\left(-\frac{2}{\epsilon} + \cdots\right)$ 비례하며, 복소수 켤레와 합할 때 상쇄되어 보편성이 확인된다.
• 이 결과는 DIS 및 Drell-Yan 이벤트 형상의 N$^3$LL 스케일링에 동일한 소프트 함수를 사용할 수 있게 하여, 고정밀 QCD 예측을 위한 마지막 단계를 완성한다.