[논문 리뷰] Equation-Free Multiscale Computation: enabling microscopic simulators to perform system-level tasks

Ioannis G. Kevrekidis, C. W. Gear외 4명|ArXiv.org|2002. 09. 10.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 16인용 수 88

한 줄 요약

이 논문은 분자 동역학 또는 운동 몬테카를로 모델과 같은 미시적 시뮬레이터가 명시적인 거시적 방정식을 유도하지 않고도 거시적 시스템 작업(예: 거시적 적분, 분기 분석, 최적화)을 수행할 수 있도록 하는 '방정식 없는 다스케일 계산' 프레임워크를 소개한다. 짧은 미시적 시뮬레이션 버스트를 사용해 거시적 행동을 추정함으로써, 이 방법은 닫힌 형태의 연속체 방정식이 필요로 하는 것을 피하고, 전통적인 수치 해법을 모방하는 계산적 슈퍼구조를 통해 복잡한 시스템을 직접 분석할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We present and discuss a framework for computer-aided multiscale analysis, which enables models at a "fine" (microscopic/stochastic) level of description to perform modeling tasks at a "coarse" (macroscopic, systems) level. These macroscopic modeling tasks, yielding information over long time and large space scales, are accomplished through appropriately initialized calls to the microscopic simulator for only short times and small spatial domains. Our equation-free (EF) approach, when successful, can bypass the derivation of the macroscopic evolution equations when these equations conceptually exist but are not available in closed form. We discuss how the mathematics-assisted development of a computational superstructure may enable alternative descriptions of the problem physics (e.g. Lattice Boltzmann (LB), kinetic Monte Carlo (KMC) or Molecular Dynamics (MD) microscopic simulators, executed over relatively short time and space scales) to perform systems level tasks (integration over relatively large time and space scales,"coarse" bifurcation analysis, optimization, and control) directly. In effect, the procedure constitutes a systems identification based, "closure on demand" computational toolkit, bridging microscopic/stochastic simulation with traditional continuum scientific computation and numerical analysis. We illustrate these ideas through examples from chemical kinetics (LB, KMC), rheology (Brownian Dynamics), homogenization and the computation of "coarsely self-similar" solutions, and discuss various features, limitations and potential extensions of the approach.

연구 동기 및 목표

• 명시적인 거시적 방정식 없이도 미시적 시뮬레이터가 거시적 수준의 모델링 작업을 수행할 수 있도록 하는 계산 프레임워크를 개발하는 것.
• 복잡한 시스템에서 미시적 시뮬레이션과 거시적 시스템 행동 사이의 스케일 간 격차를 극복하는 데 도전하는 것.
• 직접적으로 미시적 모델에서 거시적 분석(예: 분기, 최적화, 제어)을 가능하게 하는 것.
• 명시적인 거시적 방정식이 없더라도 필요에 따라 '폐쇄'를 제공하는 툴킷을 제공함으로써, 미시적 시뮬레이션과 전통적 수치 해석을 통합하는 것.
• 화학 반응 동역학, 유변학, 동질화 등 다양한 분야에서 방정식 없는 방법의 실현 가능성을 입증하는 것.

제안 방법

• 핵심 방법은 장기간의 시간스케일에서 거시적 변수의 진화를 추정하기 위해 짧고 적절하게 초기화된 미시적 시뮬레이션을 사용하는 '거시적 시간스테퍼'를 사용하는 것이다.
• 시스템 식별 기법을 활용해 명시적인 거시적 방정식 없이도 미시적 시뮬레이터로부터 잔여항, 야코비안, 헤시안 등의 거시적 정보를 추출하는 방법을 사용한다.
• 프로젝티브 통합을 통해 짧은 미시적 시뮬레이션에서 유도된 결과를 바탕으로 장기간의 거시적 시간 진화를 예측함으로써, 거시적 시간 통합의 속도를 높인다.
• 간격-치아 기법은 적절한 경계 조건을 갖춘 작은 패치에서 미시적 동역학을 시뮬레이션함으로써, 공간적으로 분포된 거시적 계산을 가능하게 한다.
• 패치 동역학은 국소적 미시적 시뮬레이션과 거시적 수준의 보간을 조합하여 전체 시스템 행동을 근사한다.
• 이 프레임워크는 스케일 간 분리가 성립하고, 거시적 동역학이 미세 스케일 변동보다 효과적으로 느리다고 가정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명시적인 거시적 방정식 없이도 미시적 시뮬레이터가 장기간 적분, 분기 분석 등의 거시적 수준 작업을 수행할 수 있는가?
• RQ2 야코비안과 헤시안과 같은 거시적 양을 유일하게 미시적 시뮬레이션으로부터 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ3 미시적 시뮬레이션에서 추출된 거시적 동역학이 정확하고 안정적인 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ4 방정식 없는 방법이 화학적 복잡성과 같은 복잡한 미세물리학을 가진 다양한 물리계에 체계적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 명시적인 거시적 수준 모델을 유도하지 않고서도 거시적 최적화와 제어를 어떻게 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 방정식 없는 프레임워크는 명시적인 거시적 방정식 없이도 미시적 시뮬레이터만으로도 거시적 스케일 시뮬레이션, 분기 분석, 최적화를 성공적으로 수행할 수 있음을 보여주었다.
• 프로젝티브 통합을 통해 짧은 시간의 미시적 시뮬레이션으로 장기간의 거시적 스케일 동역학을 정확히 추정할 수 있으며, 이는 거시적 시간스텝의 실현 가능성을 입증한다.
• 거시적 시간스테퍼와 재규격화 흐름 기법을 조합함으로써, 거시적 자가유사 해를 계산할 수 있었다.
• 화학 반응 동역학, 유변학, 동질화 분야에 응용한 결과, 이 방법이 복잡한 미세 스케일 행동을 가진 다양한 물리계를 다룰 수 있음을 보여주었다.
• 명시적인 거시적 방정식이 없더라도 프레임워크가 강건하게 작동하며, 이러한 방정식이 개념적으로 가능하더라도 실질적으로 해석이 어려운 경우에도 적용 가능하다.
• 이 방법은 통계역학에서 평형 및 비평형 현상(예: 양자 한계, 양자역학적 근사)을 연구하는 데 새로운 길을 열어준다.