[논문 리뷰] Equations for Chow and Hilbert Quotients

Angela Gibney, Diane Maclagan|ArXiv.org|2007. 07. 12.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 23인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 보조 토릭 다양체의 Cox 링을 사용하여 프로젝티브 스킴 $X$ 의 토르스 작용에 대한 차우 및 힐버트 몫에 대해 명시적인 방정식을 제공한다. 핵심 기여는 이러한 몫의 GIT 구조를 수립하고, 변형된 GIT를 적용하여 $¯{M}_{0,n}$ 이 토로피컬 기하학을 통해 동치로 homogenized Plücker 관계식을 갖는 매끄러운 토릭 다양체 안에 부분다양체로 포함됨을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

We give explicit equations for the Chow and Hilbert quotients of a projective scheme X by the action of an algebraic torus T in an auxiliary toric variety. As a consequence we provide GIT descriptions of these canonical quotients, and obtain other GIT quotients of X by variation of GIT quotient. We apply these results to find equations for the moduli space \bar{M}_{0,n} of stable genus zero n-pointed curves as a subvariety of a smooth toric variety defined via tropical methods.

연구 동기 및 목표

• 프로젝티브 스킴 $X$ 에 대해 토르스 작용 $T^d$ 에 대한 차우 및 힐버트 몫에 대해 명시적인 방정식을 제공한다.
• 이 몫들에 대한 GIT 구조를 수립하고, 모든 $T^d$-GIT 몫이 차우 및 힐버트 몫으로부터 변형된 GIT를 통해 유도됨을 보여준다.
• 이 틀을 모듈리 공간 $\overline{M}_{0,n}$ 에 적용하여, 토로피컬 방법을 통해 이가 매끄러운 토릭 다양체 안에 부분다양체로 포함됨을 보여준다.
• 형질수집 트리 공간에 의해 정의된 토릭 다양체의 부분다양체로써 $\overline{M}_{0,n}$ 의 기하학적 실현을 제공하며, Plücker 관계식에서 유도된 방정식을 제시한다.

제안 방법

• 토릭 부분다양체 $X_\Sigma \subset X_{\Sigma^\star}$ 의 Cox 링 $S = \Bbbk[y_1, \dots, y_r]$ 을 사용한다. 여기서 $X_{\Sigma^\star}$ 는 $\mathbb{P}^m$ 의 토르스 작용에 의한 토릭 차우 또는 힐버트 몫의 정규화이다.
• S에서의 몫 $X \mathbin{//}^\star T^d$ 의 이상은 $I(X)$ 의 생성자들을 $\operatorname{Cl}(X_\Sigma)$-중량에 따라 동차화하고, S에 속한 모든 변수의 곱으로 인한 정규화를 통해 계산된다.
• 이 구조는 토로피컬 기하학에 기반하며, $\overline{M}_{0,n}$ 이 형질수집 트리 공간에 해당하는 팬을 가진 매끄러운 토릭 다양체 $X_\Delta$ 에 포함됨을 보여준다.
• Cox 링 $S = \Bbbk[x_I : I \in \mathcal{I}]$ 에서 $\overline{M}_{0,n}$ 의 방정식은 S의 중량을 사용하여 Plücker 관계식을 동차화함으로써 얻어진다. 여기서 $\mathcal{I}$ 는 경계다발을 인덱싱한다.
• 군 $H = \operatorname{Hom}(\operatorname{Cl}(X_\Sigma), \Bbbk^\times)$ 를 통해 GIT 몫의 구조를 확립한다. $X \mathbin{//}^\star_n T^d$ 는 $\mathcal{G} \subset \operatorname{Cl}(X_\Sigma) \otimes \mathbb{R}$ 에 속한 특정 개방 콩 안의 $\alpha$ 에 대해 $Z(I) \mathbin{//}_\alpha H$ 로 실현된다.
• 변형된 GIT 를 사용하여, $G(2,n)$ 의 모든 $T^{n-1}$-GIT 몫이 $\overline{M}_{0,n}$ 에서 다른 $\alpha$ 를 선택함으로써 유도됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토릭 환경에서 토르스 작용에 대한 $T^d$--equivariant 프로젝티브 스킴 $X \subset \mathbb{P}^m$ 의 차우 및 힐버트 몫에 대해 명시적인 방정식을 제시할 수 있는가?
• RQ2 토릭 부분다양체의 Cox 링을 사용하여 차우 및 힐버트 몫 $X \mathbin{//}^\star T^d$ 의 GIT 구조를 수립할 수 있는가?
• RQ3 모듈리 공간 $\overline{M}_{0,n}$ 을 통해 변형된 GIT 를 적용하여 $G(2,n)$ 의 모든 $T^{n-1}$-GIT 몫을 얻을 수 있는가?
• RQ4 모듈리 공간 $\overline{M}_{0,n}$ 이 토릭 포함을 갖는다 할 때, 그 Cox 링 내 방정식이 homogenized Plücker 관계식에 의해 생성되는가?
• RQ5 모듈리 공간 $\overline{M}_{0,n}$ 의 유효 콩은 모리 드림 영역인가? 그리고 Picard 군과 유효 콩이 동형인 토릭 포함을 통해 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 토릭 부분다양체 $X_\Sigma$ 의 Cox 링 $S$ 에서 차우 또는 힐버트 몫 $X \mathbin{//}^\star_n T^d$ 의 이상은 $X$ 의 정의 이상을 $\operatorname{Cl}(X_\Sigma)$-중량에 따라 동차화하고, S에 속한 모든 변수의 곱으로 정규화함으로써 얻어진다.
• 차우 및 힐버트 몫은 $\mathcal{G} \subset \operatorname{Cl}(X_\Sigma) \otimes \mathbb{R}$ 에 속한 비영 콩의 상대 내부에 있는 $\alpha$ 에 대해 $Z(I) \mathbin{//}_\alpha H$ 로 표현되는 GIT 구조를 갖는다.
• $G(2,n)$ 의 모든 $T^{n-1}$-GIT 몫은 적절한 $\alpha$ 에 대해 $Z(I_{\overline{M}_{0,n}}) \mathbin{//}_\alpha H$ 로 실현되며, 이는 변형된 GIT 가 $\overline{M}_{0,n}$ 에서 모든 이러한 몫을 생성함을 보여준다.
• $\overline{M}_{0,n}$ 은 형질수집 트리 공간에 해당하는 팬을 가진 매끄러운 토릭 다양체 $X_\Delta$ 에 포함되며, Cox 링 $S = \Bbbk[x_I : I \in \mathcal{I}]$ 에서의 방정식은 homogenized Plücker 관계식으로 주어진다.
• $n \geq 5$ 일 때, $S$ 에서의 이상 $I_{\overline{M}_{0,n}}$ 은 homogenized Plücker 관계식에 의해 생성되며, $\alpha \in \operatorname{relint}(\mathcal{G})$ 에 대해 $\overline{M}_{0,n} \cong Z(I_{\overline{M}_{0,n}}) \mathbin{//}_\alpha H$ 를 만족하여 GIT 실현이 확인된다.
• $n \geq 6$ 일 때, $\overline{M}_{0,n}$ 의 유효 콩은 $X_\Delta$ 와 같지 않지만, 경계다발 콩 $E$ 는 여전히 모리 드림 영역일 수 있으며, $S/I_{\overline{M}_{0,n}}$ 이 모든 $D \in E$ 에 대해 $H^0(\overline{M}_{0,n}, D)$ 와 동형일 수 있다.