[논문 리뷰] Equations involving fractional Laplacian operator: Compactness and application

Shusen Yan, Jianfu Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 03.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 하향적 외삽을 갖는 분수 라플라스 방정식과 임계 외삽을 갖는 양의 매개변수 λ에 대해 해의 컴팩턴스 결과를 확립하며, N > 6α 및 λ > 0 조건 하에 슈바르츠 공간 H 내에서 강한 수렴을 증명한다. 이 컴팩턴스는 변분 방법을 통해 임계 문제에 대해 무한히 많은 해의 존재를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the following problem involving fractional Laplacian operator: \begin{equation}\label{eq:0.1} (-Δ)^α u= |u|^{2^*_α-2-\varepsilon}u + λu\,\, { m in}\,\, Ω,\quad u=0 \,\, { m on}\, \, \partialΩ, \end{equation} where $Ω$ is a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^N$, $\varepsilon\in [0, 2^*_α-2)$, $06α$ and $λ>0$. An application of this compactness result is that problem \eqref{eq:0.1} possesses infinitely many solutions under the same assumptions.

연구 동기 및 목표

• 분수 브레지스-니레버그 유형 문제에 하향적 외삽을 갖는 해의 수열에 대한 전역 컴팩턴스 결과를 확립하기 위해.
• 분수 라플라스를 포함하는 임계 타입 타원형 문제에서 컴팩턴스의 부족을 극복하기 위해, 팔라이-스미스 수열이 강하게 수렴하는 조건을 규명하기 위해.
• 지역 라플라스의 경우(α = 1)에 대한 고전적 컴팩턴스 프레임워크를 비국소 분수 라플라스 설정(0 < α < 1)으로 확장하기 위해.
• 컴팩턴스 결과를 활용하여 임계 문제에 대해 무한히 많은 해의 존재를 증명하기 위해.

제안 방법

• 유계 도메인 Ω ⊂ ℝ^N 내에서 디리클레 라플라스의 고유함수를 사용한 스펙트럼 분해를 통해 분수 라플라스 (−Δ)^α를 정의하기 위해.
• H = {u ∈ L²(Ω) : ∑ₖ λₖ^α uₖ² < ∞}로 주어진 힐베르트 공간에서, 노름 ‖u‖_H = (∑ₖ λₖ^α uₖ²)^{1/2}을 갖기 위해.
• 방정식 (−Δ)^α u = |u|^{2*ₐ−2−ε}u + λu in Ω, u = 0 on ∂Ω에 관련된 에너지 함수에 대해 팔라이-스미스 수열 (uₙ)의 행동을 분석하기 위해.
• N > 6α 조건 하에서 해의 버블링 행동을 제어하기 위해 이동 평면 방법과 붕괴 분석을 사용하기 위해.
• 분수 라플라스를 고차원 상반평면 ℝ^{N+1}_+ 내의 비정상 타입 타원형 문제와 연결하기 위해 카프레리-실베스트레 확장을 적용하기 위해.
• 켈빈 변환과 하르나크 부등식을 사용하여 확장된 문제의 해에 대한 붕괴 추정을 수립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하향적 외삽을 갖는 분수 브레지스-니레버그 문제에 대해 팔라이-스미스 조건이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 임계 지수에 접근할 때 분수 슈바르츠 공간 H 내에서 팔라이-스미스 수열의 강한 수렴이 확립될 수 있는가?
• RQ3 해 집합의 컴팩턴스는 분수 임계 문제에 대해 무한히 많은 해의 존재를 암시하는가?
• RQ4 차원 N과 매개변수 λ는 분수 설정에서 해의 컴팩턴스에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 해 수열 (uₙ)에 대해 방정식 (−Δ)^α u = |u|^{2*ₐ−2−εₙ}u + λu in Ω, u = 0 on ∂Ω를 만족하며, εₙ ∈ [0, 2*ₐ−2) 및 ‖uₙ‖_H ≤ C 이면, N > 6α 및 λ > 0 조건 하에 H 내에서 강한 수렴이 달성된다.
• 이 컴팩턴스 결과는 특히 차원 N이 6α를 초과할 경우에만 성립하며, 이는 국소 경우(α = 1)의 고전적 조건 N > 7보다 더 엄격한 조건이다.
• 비선형성의 성장에 영향을 주는 임계 지수 2*ₐ = 2N/(N−2α)는 컴팩턴스 실패의 임계값을 결정한다.
• 컴팩턴스 결과의 직접적 결과로서 임계 문제(ε = 0)에 대해 무한히 많은 해의 존재가 입증된다.
• 확장된 문제의 해에 대한 붕괴 추정 |v(X)| ≤ C/(1 + |X|²)^{(N−2α)/2}은 붕괴 프로파일을 제어하는 데 핵심적이다.
• 카프레리-실베스트레 확장을 사용함으로써 비국소 문제를 고차원에서의 국소 비정상 타입 타원형 방정식을 통해 다룰 수 있다.