[논문 리뷰] Equations of Associativity in Two-Dimensional Topological Field Theory as Integrable Hamiltonian Nondiagonalizable Systems of Hydrodynamic Type

O. I. Mokhov, Eugene Ferapontov|ArXiv.org|1995. 05. 30.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 11인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 토폴로지적 양자장 이론에서의 결합 법칙 방정식—특히 WDVV 방정식—이 수소역학 체계의 통합 가능한 해밀토니안 체계로 재구성될 수 있음을 밝힌다. 삼차 편미분방정식을 필드 재정의를 통해 3×3 수소역학 체계로 변환함으로써, 저자들은 체계 (1.3)에 국소 해밀토니안 구조가 존재함을 증명하고, 서로 다른 WDVV 방정식의 해에 대응하는 두 개의 별개 체계 (1.3)과 (1.4)를 연결하는 Bäcklund 유형의 변환을 도출한다.

ABSTRACT

Equations of associativity in two-dimensional topological field theory (they are known also as the Witten-Dijkgraaf-H.Verlinde-E.Verlinde (WDVV) system) are represented as an example of the general theory of integrable Hamiltonian nondiagonalizable (i.e., do not possessing Riemann invariants) systems of hydrodynamic type. A corresponding local nondegenerate Hamiltonian structure of hydrodynamic type (Poisson bracket of Dubrovin-Novikov type) is found. For n=3 the equations of associativity are reduced to the integrable three wave system by a chain of explicit transformations. Any solution of the integrable three wave system generates solutions of the equations of associativity. Explicit Bäcklund type transformations connecting solutions of different equations of associativity are found.

연구 동기 및 목표

• WDVV 방정식에서 유도된 통합 가능한 수소역학 체계 (1.3)에 대한 해밀토니안 구조를 확립하는 것.
• 체계 (1.3)가 비대각화 가능하고 리만 불변량을 갖지 않지만, 스펙트럼 방법을 통해 여전히 통합 가능하다는 것을 보여주는 것.
• 서로 다른 WDVV 호환 수소역학 체계 (1.3)와 (1.4)의 해를 연결하는 Bäcklund 유형의 변환을 구성하는 것.
• 통합 가능한 삼파면 체계의 임의의 해가 WDVV 방정식 (1.1)의 해를 생성할 수 있음을 보여주는 것.
• 체계 (1.4)의 비국소 해밀토니안 구조를 명확히 하는 것—이는 국소 Dubrovin-Novikov 유형의 파울슨 괄목이 존재하지 않기 때문이다.

제안 방법

• 필드 변수 $ a = f_{xxx}, b = f_{xxt}, c = f_{xtt} $ 를 통해 WDVV 방정식을 3×3 수소역학 체계 (1.3)와 (1.4)로 변환하는 것.
• 행렬 $ A $ 와 $ B $ 를 갖는 스펙트럼 문제를 사용하여, 수소역학 체계와 동치인 호환 조건을 도출하는 것.
• 파울슨 괄목을 구성함으로써 체계 (1.3)에 대해 국소 비특이 해밀토니안 구조(Đubrovin-Novikov 유형)의 존재를 증명하는 것.
• 행렬 $ A $ 의 특성다항식의 근인 $ u^i $ 에서 $ p^i $ 로의 변수변환을 적용하여 통합 가능한 삼파면 체계 (3.13)를 도출하는 것.
• 좌표 변화 $ ilde{x}, ilde{t} $ 와 필드 재정의 $ w^i = 1/u^i $ 를 통해 체계 (1.3)과 (1.4)를 연결하는 Bäcklund 유형의 변환을 유도하는 것.
• WDVV 방정식 (1.1)과 (1.2) 사이의 변환이 접촉 변환이 아니며, 이는 체계 간의 통합 가능성 유지에 기여함을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 차원 토폴로지적 양자장 이론에서의 WDVV 방정식은 수소역학 체계의 통합 가능한 해밀토니안 체계로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 수소역학 체계 (1.3)의 해밀토니안 구조는 어떠한 성질을 가지며, 국소 Dubrovin-Novikov 파울슨 괄목을 갖는가?
• RQ3 서로 다른 두 개의 WDVV 호환 수소역학 체계 (1.3)과 (1.4)는 어떻게 관련되어 있으며, 그 해를 연결하는 변환이 존재하는가?
• RQ4 통합 가능한 삼파면 체계는 체계 (1.1)의 WDVV 체계로부터 체계적인 변수변환을 통해 도출될 수 있는가?
• RQ5 왜 체계 (1.4)는 국소 해밀토니안 구조를 갖지 않으며, 그 통합 가능성은 어떤 비국소 구조로 기술되는가?

주요 결과

• 체계 (1.3)는 국소 비특이 Dubrovin-Novikov 유형의 해밀토니안 구조를 갖는다. 이는 표준 수소역학 이론에 의한 통합 가능성의 확인을 의미한다.
• 체계 (1.3)의 행렬 $ A $ 의 고유값 $ u^1, u^2, u^3 $ 은 보존량의 밀도를 형성하며, 이 체계는 다섯 개의 선형 독립 보존량을 갖는다.
• $ u^i $ 에서 $ p^i $ 로의 변수변환은 미분 치환을 통해 정의되며, 이는 체계 (1.3)을 통합 가능한 삼파면 체계 (3.13)으로 변환한다. 이 체계는 WDVV 방정식 (1.1)의 해를 생성한다.
• 체계 (1.3)과 (1.4) 사이의 Bäcklund 유형 변환은 좌표 변화 $ d ilde{x} = -rac{1}{2}(u^1u^2 + u^1u^3 + u^2u^3)dx + u^1u^2u^3 dt $, $ d ilde{t} = dx $ 와 필드 재정의 $ w^i = 1/u^i $ 를 통해 달성된다.
• WDVV 방정식 (1.1)과 (1.2) 사이의 변환은 접촉 변환이 아니며, 이는 해의 공간 간에 비표준적인 연결이 있음을 시사한다.
• 체계 (1.4)는 국소 해밀토니안 구조를 갖지 않으며, 그 해밀토니안 구조는 엄밀히 비국소적이다. 이는 Dubrovin-Novikov 괄목이 존재하지 않음으로써 확인된다.