[논문 리뷰] Equations of Motion Formulation of a Pendulum Containing N-point Masses

Boran Yesilyurt|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 24.

Aerospace Engineering and Control Systems참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 라그랑주 역학과 벡터 기반 유도를 사용하여 n개의 점질량으로 구성된 진자에 대한 운동 방정식을 간결하고 일반적인 형태로 제시한다. 이는 복잡한 시스템에서 효율적인 계산을 가능하게 한다. 주요 기여는 n → ∞일 때 잘 정의된 조건 하에서 시스템이 중력 보정이 가미된 파동 방정식으로부터 유도된 매달린 밧줄의 역학으로 수렴함을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

This paper presents a general formulation of equations of motion of a pendulum with n point mass by use of two different methods. The first one is obtained by using Lagrange Mechanics and mathematical induction(inspection), and the second one is derived by defining a vector. Today, these equations can be obtained by employing numerous programs; however, this study gives a very compact form of these equations that is more efficient than solving Euler-Lagrange Equations for every pendulum with more complex structures than simple or double pendulum. Additionally, we investigate what will happen to our n-point mass system when we take limit as number of point masses goes infinity under well-defined assumptions. We find out that it converges to hanging rope system.

연구 동기 및 목표

• 각 시스템에 대해 반복적인 오일러-라그랑주 계산을 피하기 위해, n개의 점질량으로 구성된 진자에 대한 닫힌 형태이자 확장 가능한 운동 방정식을 유도하는 것.
• 고차수 진자에 대한 표준 수치 방법의 계산 효율성이 떨어지는 대안을 제공하는 것.
• n개의 점질량 시스템의 연속 극한을 조사하는 것.
• 적절한 가정 하에 n개의 점질량 진자 시스템이 균일 질량 밀도를 갖는 매달린 밧줄의 알려진 역학으로 수렴하는지 보여주는 것.

제안 방법

• 시스템의 운동 에너지 및 위치 에너지 표현에 대한 수학적 귀납법을 통한 유도.
• 각 질량에 대한 위치 및 속도의 벡터 기반 표현을 사용한 라그랑지안 수식화.
• 일반화된 좌표 θj에 대해 일반 운동 방정식을 도출하기 위해 오일러-라그랑주 방정식 적용.
• 질량 간의 결합 항을 표현하기 위해 크로네커 유사 σjk 함수의 사용.
• n→∞로의 극한 분석을 통해 이산 시스템을 질량 밀도 μ를 갖는 연속된 밧줄로 모델링.
• 연속적 파동 방정식 ∂²x/∂t² = g(L−y)∂²x/∂y² − g∂x/∂y 유도; 매달린 밧줄 역학으로의 수렴을 보여줌.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각 시스템에 대해 오일러-라그랑주 방정식을 별도로 풀지 않고도 n개의 점질량 진자에 대한 일반적이고 닫힌 형태의 운동 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 점질량의 수가 무한대에 가까워질수록 시스템의 거동은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 적절한 가정 하에 n개의 점질량 진자 시스템이 알려진 매달린 밧줄의 역학으로 수렴하는가?
• RQ4 n→∞일 때 진자 시스템의 연속 극한 운동 방정식은 어떤 형태를 갖는가?
• RQ5 중력 항과 결합 항은 연속된 밧줄에 대한 최종 파동 방정식에 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 임의의 n에 대해 유효한, n개의 점질량 진자에서 임의의 θj에 대해 간결하고 일반적인 운동 방정식이 도출되었다.
• 질량 및 길이 매개변수를 포함한 체계적인 합산을 통해 질량 간의 모든 결합 항이 효율적으로 포괄되었다.
• 적절한 가정 하에서 n→∞일 때 시스템이 파동 방정식 ∂²x/∂t² = g(L−y)∂²x/∂y² − g∂x/∂y로 수렴함을 보였다.
• 유도된 연속 극한 방정식은 균일 질량 밀도를 갖는 매달린 밧줄의 알려진 운동 방정식과 정확히 일치한다.
• 유도 과정은 중력 위치 에너지와 인장 효과가 연속 극한에 내재되어 있음을 확인하였으며, ∂x/∂y 및 (L−y) 항의 출현을 설명한다.
• 변수 분리 결과 제로차수 베셀 방정식이 도출되었으며, 이는 연속 극한에서 시스템의 진동 모드가 베셀 함수에 의해 지배됨을 확인한다.