[논문 리뷰] Equidistribution on homogeneous spaces and the distribution of approximates in Diophantine approximation

Mahbub Alam, Anish Ghosh|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 18.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 수체에 관련된 동차 공간에서의 대각 흐름에 대한 등분포 결과를 확립하며, 이러한 흐름에 의한 단순형 격자 궤도가 성장 조건이 제어된 비유계 함수에 대해 등분포함을 증명한다. Kleinbock, Shi, Weiss가 제기한 비유계 가중치에 대한 등분포 문제를 해결하고, 실수 공간 R^m에서의 뱀형 정리(spiraling theorems)를 일반 수체로 일반화하며, Schmidt와 Athreya-Ghosh-Tseng의 결과를 일반 수체로 확장하여 디오판틴 불등식의 해에 대한 정확한 점근적 수를 제시한다.

ABSTRACT

The present paper is concerned with equidistribution results for certain flows on homogeneous spaces and related questions in Diophantine approximation. Firstly, we answer in the affirmative, a question raised by Kleinbock, Shi and Weiss regarding equidistribution of orbits of arbitrary lattices under diagonal flows and with respect to unbounded functions. We then consider the problem of Diophantine approximation with respect to rationals in a fixed number field. We prove a number field analogue of a famous result of W. M.Schmidt which counts the number of approximates to Diophantine inequalities for a certain class of approximating functions. Further we prove "spiraling" results for the distribution of approximates of Diophantine inequalities in number fields. This generalizes the work of Athreya, Ghosh and Tseng as well as Kleinbock, Shi and Weiss.

연구 동기 및 목표

• 동차 공간에서 비유계 함수에 대한 대각 흐름의 등분포 문제를 Kleinbock, Shi, Weiss가 제기한 바를 해결하기 위해.
• 원래 R^m에서의 디오판틴 추측에서의 뱀형 현상 결과를 일반 수체로 일반화하기 위해.
• 일반 근사 함수를 갖는 디오판틴 불등식의 해에 대한 Schmidt의 점근적 수를 수체에 대응하는 형태로 확립하기 위해.
• 유리수 Q에서 일반 수체로 확장하여 격자의 가중 궤도에 대한 등분포를 증명하기 위해.
• 수체 설정에서의 SL_d(K_S)/SL_d(O)에서의 등분포와 Siegel 변환을 활용한 프레임워크를 개발하기 위해.

제안 방법

• Shi의 unipotent 흐름에 대한 등분포 정리(SL_d(K_S)/SL_d(O)에서)를 활용하여 대각 흐름 하에서 거의 모든 궤도의 일반성(_genericity_)을 확립한다.
• 함수 공간 Cα(X)를 정의하여, Λ의 부분격자에 대해 α(Λ) = max{d(Λ′)^{-1}}로 주어지는 적절한 맵 α에 의해 유계되는 함수를 고려한다.
• K^d_S에서 리만 적분 가능한 f에 대해 bf(Λ) = ∑_{v≠0} f(v)로 정의되는 Siegel 변환을 적용하여, X 상의 함수 적분을 K^d_S 상의 체적 적분과 연결한다.
• 약한-* 수렴과 컴act 지지 연속 함수로의 근사 기법을 사용하여, 유계 연속 함수에서 Cα(X) 함수로의 등분포를 확장한다.
• 격자점 수세기와 측도 제어를 활용하여, 고리 및 구의 특성 함수와의 비교를 통해 등분포를 증명한다.
• 스케일링과 대각 흐름에 대한 불변성에 기반하여, 디오판틴 불등식의 해 수를 세는 것과 K^d_S 상의 관련 집합의 체적 사이의 점근적 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계 함수 ψ ∈ Cα(X)에 대해, 단순형 격자 궤도 {gt∆ϑ}가 동차 공간 G/Γ 상에서 등분포하는가? 즉, lim_{T→∞} (1/T)∫₀ᵀ ψ(gt∆ϑ) dt = ∫_X ψ dµ 가 성립하는가?
• RQ2 R^m에서의 디오판틴 근사의 뱀형 현상은 일반 수체로 일반화될 수 있는가? 방향 벡터가 구 위에서 등분포하는가?
• RQ3 일반 근사 함수에 대해 수체 내 디오판틴 불등식의 해의 점근적 수는 무엇인가?
• RQ4 유리수 Q에서 일반 수체로의 가중 궤도 등분포 결과는 어떻게 확장되며, 수체의 구조는 수를 세는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 K^d_S에서 리만 적분 가능한 함수의 Siegel 변환은 대각 흐름 하에서 어떻게 행동하는가? 그리고 X 상의 불변 측도와의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 近乎 모든 ϑ ∈ M에 대해, 궤도 {gt∆ϑ}는 임의의 ψ ∈ Cα(X)에 대해 등분포하며, 즉 lim_{T→∞} (1/T)∫₀ᵀ ψ(gt∆ϑ) dt = ∫_X ψ dµ 이다.
• 논문은 Kleinbock, Shi, Weiss의 질문을 해결하여, 이전에 유계 연속 함수에 국한되었던 결과를 비유계 함수 Cα(X)로 확장함으로써 등분포를 증명한다.
• Schmidt의 정리의 수체에 대응하는 형태가 증명된다: 근사 함수가 있는 디오판틴 불등식의 해의 수는 K^d_S 상의 해당 집합의 체적과 점근적으로 동일하게 증가한다.
• 측도 가능 집합 A ⊆ S^{m-1}에 대해 근사의 수를 세는 함수 N(T, A)는 lim_{T→∞} N(T, A)/N(T) = vol(A) 를 만족하며, Athreya, Ghosh, Tseng의 결과를 수체로 일반화한다.
• 임의의 측도 가능 집합 A ⊆ S^{m-1}과 T > 0에 대해, 방향이 A에 속하는 근사의 비율은 A의 정규화된 표면 측도로 수렴한다. 이는 근사 함수가 Cα(X)에 속하는 일반 함수로 가중되어도 성립한다.
• 등분포를 통해, 수체 내 가중 디오판틴 불등식의 해 집합의 점근적 체적은 동차 공간 상에서 특성 함수의 Siegel 변환의 적분과 일치함을 보였다.