[논문 리뷰] Equidistribution results for singular metrics on line bundles

Dan Coman, George Marinescu|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 25.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 33인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특이성 양의 메트릭을 지닌 선다발 위에서 랜덤 헬름홀로픽 세션의 공통 영점과 푸비니-슈타트 코어를 위한 등분포 결과를 수립한다. 베르그만 커널에 대한 약한 점근적 조건 하에서, 스케일링된 푸비니-슈타트 코어와 기대 영점 코어가 특이 메트릭의 곡률 코어로 약수렴함을 증명하며, 티안의 적분 가능성 정리가 특이성이 제어되는 컴acts analytic 부분집합에서의 일반화된 설정으로 확장된다.

ABSTRACT

Let L be a holomorphic line bundle with a positively curved singular Hermitian metric over a complex manifold X. One can define naturally the sequence of Fubini-Study currents associated to the space of square integrable holomorphic sections of the p-th tensor powers of L. Assuming that the singular set of the metric is contained in a compact analytic subset of X and that the logarithm of the Bergman kernel function associated to the p-th tensor power of L (defined outside the singular set) grows like o(p) as p tends to infinity, we prove the following: 1) the k-th power of the Fubini-Study currents converge weakly on the whole X to the k-th power of the curvature current of L. 2) the expectations of the common zeros of a random k-tuple of square integrable holomorphic sections converge weakly in the sense of currents to to the k-th power of the curvature current of L. Here k is so that the codimension of the singular set of the metric is greater or equal as k. Our weak asymptotic condition on the Bergman kernel function is known to hold in many cases, as it is a consequence of its asymptotic expansion. We also prove it here in a quite general setting. We then show that many important geometric situations (singular metrics on big line bundles, Kaehler-Einstein metrics on Zariski-open sets, artihmetic quotients) fit into our framework.

연구 동기 및 목표

• 특이성 양의 메트릭을 지닌 헬름홀로픽 선다발로 티안의 정리에서의 점근적 등분포 결과를 일반화한다.
• 메트릭이 컴팩트 분석적 부분다양체 $\Sigma$ 에서 특이할 경우 $L^2$-헬름홀로픽 세션과 관련된 코어의 수렴을 다룬다.
• 랜덤 $k$-튜플 세션의 공통 영점의 기대 코어가 곡률 코어 $c_1(L,h)^k$ 로의 약수렴을 수립한다.
• 일반적인 설정에서 $X\setminus\Sigma$ 에서의 베르그만 커널 함수가 $o(p)$ 성장 조건을 만족함을 보여, 전역 수렴을 가능하게 한다.

제안 방법

• 메트릭이 특이한 $X\setminus\Sigma$ 에서 $L^2$-헬름홀로픽 세션의 정규직교 기저와 관련된 코다이라 사상에 의해 푸비니-슈타트 코어 $\gamma_p$ 를 정의한다.
• 특이 메트릭 $h$ 를 $X\setminus\Sigma$ 에서 부드럽게 수정하는 데 desingularization 기법과 스무딩 변형 $h_\varepsilon$ 를 사용하여 메트릭과 곡률의 정칙성을 확보한다.
• 강한 피아노컨벡스 도메인에서의 경계 조건을 갖는 $\overline{\partial}$-네umann 방법을 적용하여 $\overline{\partial}$-라플라스 연산자의 스펙트럼 갭 추정치를 유도한다.
• 경계항을 포함한 보흐너-코다이라-나카노 공식을 사용하여 $X\setminus\Sigma$ 의 컴팩트 부분집합에서 베르그만 커널 함수의 완전한 점근 전개를 수립한다.
• 스펙트럼 갭 추정치와 $\overline{\partial}$-네umann 방법을 활용하여 일반적인 기하적 가정(예: 빅 선다발, 산술 몫) 하에서 베르그만 커널의 $o(p)$ 성장 조건이 만족됨을 증명한다.
• 곡률 코어 $c_1(L,h)$ 와 그 $k$-승을 사용하여 $\gamma_p^k$ 와 기대 영점 코어의 약한 극한을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트릭 $h$ 가 컴팩트 분석적 부분다양체 $\Sigma$ 에서 특이할 경우, 전체 다양체 $X$ 에서 스케일링된 푸비니-슈타트 코어의 수열 $\gamma_p^k / p^k$ 가 $c_1(L,h)^k$ 로 약수렴하는가?
• RQ2 동일한 특이 메트릭 조건 하에서, $L^2$-헬름홀로픽 세션의 $k$-튜플의 기대 영점 코어가 $c_1(L,h)^k$ 로 약수렴하는가?
• RQ3 어떤 기하적 조건 하에서 $X\setminus\Sigma$ 에서의 베르그만 커널 함수가 $p \to \infty$ 일 때 $o(p)$ 성장하는가?
• RQ4 티안의 정리는 어떤 정도로 빅 선다발이나 음의 리치 곡률이 유계인 자리스키-오픈 집합에서의 특이 메트릭으로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 특이성이 존재할 경우, 특히 승수 이상의 아이디얼 sheaf 또는 산술 몫의 맥락에서 베르그만 커널의 점근적 행동을 어떻게 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 베르그만 커널이 $o(p)$ 성장 조건을 만족할 경우, 메트릭 $h$ 가 컴팩트 분석적 부분다양체 $\Sigma$ 에서 특이하더라도, $p \to \infty$ 일 때 푸비니-슈타트 코어 $\gamma_p^k$ 는 $X$ 에서 $c_1(L,h)^k$ 로 약수렴한다.
• 기대 영점 코어가 랜덤 $k$-튜플의 $L^2$-헬름홀로픽 세션의 공통 영점으로부터 유도되며, 조건 $\operatorname{codim}\Sigma \geq k$ 를 만족할 경우 $c_1(L,h)^k$ 로 약수렴한다.
• 스펙트럼 갭 추정치와 $\overline{\partial}$-네umann 방법을 통해 일반적인 설정에서 베르그만 커널의 $o(p)$ 성장 조건이 확인된다.
• 베르그만 커널 함수의 점근 전개는 $X\setminus\Sigma$ 의 컴팩트 부분집합에서 성립하며, 이는 수렴 결과를 가능하게 한다.
• 결과는 빅 선다발에서의 특이 메트릭, 자리스키-오픈 집합에서의 카일러-아인슈타인 메트릭, 산술 몫 등 중요한 기하 설정에 적용 가능하다.
• 프레임워크는 승수 이상의 아이디얼 sheaf 및 $1$-유도 가능 다성분으로 확장되며, 적절한 곡률과 메트릭 조건 하에서 유사한 수렴 정리가 성립한다.