[논문 리뷰] Equidistributions of MAJ and STAT over pattern avoiding permutations

Joanna N. Chen|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 22.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $S_n(213)$에서 $S_n(231)$로의 새로운 이항사상(bijection)을 구축하여 통계 쌍 $(maj, stat)$을 $(stat, maj)$로 매핑함으로써, Amini가 제기한 패턴을 피하는 순열 위에서 Mahonian 통계의 등분포(equidistribution)에 대한 여러 추측에 대한 이항 증명을 제공한다. 주요 결과는 이러한 순열 클래스 간에 주요 지표(major index)와 $stat$ 통계 간의 직접적인 대칭성을 확립한다.

ABSTRACT

Babson and Steingr\'ımsson introduced generalized permutation patterns and showed that most of the Mahonian statistics in the literature can be expressed by the combination of generalized pattern functions. Particularly, they defined a new Mahonian statistic in terms of generalized pattern functions, which is denoted $stat$. Recently, Amini investigated the equidistributions of these Mahonian statistics over sets of pattern avoiding permutations. Moreover, he posed several conjectures. In this paper, we construct a bijection from $S_n(213)$ to $S_n(231)$, which maps the statistic $(maj,stat)$ to the statistic $(stat,maj)$. This allows us to give solutions to some of Amini's conjectures.

연구 동기 및 목표

• 패턴을 피하는 순열 위에서 Mahonian 통계의 등분포에 관해 Amini가 제기한 열린 추측을 해결하기 위해.
• $S_n(213)$과 $S_n(231)$ 사이의 이항 연결을 구축하여 통계 $maj$와 $stat$을 서로 바꾸는 맵(map)을 제공하기 위해.
• 이전에 생성 함수나 수세기 기반으로 제안된 등분포 결과에 대해 구축적이고 조합론적인 증명을 제공하기 위해.
• 일반화된 순열 패턴과 그들이 Mahonian 통계의 등분포에 미치는 역할에 대한 이해를 확장하기 위해.
• 기존 Burstein 및 Chen-Li의 구성과는 달리 $adj$ 통계를 유지하지 않는 새로운 이항사상을 제공하기 위해.

제안 방법

• 각 순열의 첫 번째 원소 $k$에 기반한 블록 분해를 이용해 $\alpha: S_n(213) \to S_n(231)$ 맵을 구성한다.
• 원소가 $k$보다 작은 것들로 이루어진 $\pi'$와 $k$보다 큰 것들로 이루어진 $\pi''$를 포함하는 재귀적 분해 $\pi = k\pi'\pi''$를 사용한다.
• 내림차순 및 이동 메커니즘을 사용하여 블록 $\pi'$와 $\pi''$를 재정렬하는 변환 $\phi$를 적용하여 내림차순의 구조를 유지한다.
• 이항사상 전후에서 $maj$와 $stat$을 연결하는 데 식 $maj(\pi) + stat(\pi) = (n+1)des(\pi) - (k-1)$을 활용한다.
• $des(\alpha(\pi)) = des(\pi)$ 및 $ides(\alpha(\pi)) = ides(\pi)$라는 사실을 이용하여 내림차순 대칭성을 유지한다.
• 블록 분해와 이항사상에 기반하여 생성함수 $M_n(q,t) = \sum_{\pi \in S_n(213)} q^{maj(\pi)} t^{des(\pi)}$에 대한 재귀식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Amini가 추측한 linke처럼, $S_n(213)$에서의 통계 $maj$와 $S_n(231)$에서의 $stat$은 등분포하는가?
• RQ2 이항사상 맵을 통해 $S_n(213)$과 $S_n(231)$ 사이에서 $maj$와 $stat$이 서로 바뀌는지 확인할 수 있는가?
• RQ3 이항사상에서 유도된 $M_n(q,t)$에 대한 재귀식이 $S_n(213)$에 대해 알려진 생성함수 항등식과 일치하는가?
• RQ4 Burstein 및 Chen-Li의 이전 구성과 비교할 때, 이 새로운 이항사상은 어떤 통계를 유지하는가?
• RQ5 이 틀을 통해 $S_n(132)$에서의 $mak$ 통계가 $S_n(213)$에서의 $stat$ 통계와 등분포하는 것으로 보일 수 있는가?

주요 결과

• 맵 $\alpha: S_n(213) \to S_n(231)$는 잘 정의된 이항사상이며, $maj(\pi) = stat(\alpha(\pi))$ 및 $stat(\pi) = maj(\alpha(\pi))$를 만족한다.
• 이항사상은 내림차순 수를 유지한다: $des(\alpha(\pi)) = des(\pi)$이며, $ides(\alpha(\pi)) = ides(\pi)$를 만족한다.
• 생성함수 $M_n(q,t)$에 대해 다음 재귀식이 성립한다: $M_n(q,t) = M_{n-1}(q,t) + \sum_{k=1}^{n-1} q^k t M_{k-1}(q, qt) M_{n-k}(q, q^k t)$.
• 이 구성은 추측 1.2를 해결한다: $\sum_{\pi \in S_n(213)} q^{maj(\pi)} = \sum_{\pi \in S_n(231)} q^{stat(\pi)}$.
• 결과적으로 $S_n(213)$에서의 $(maj, stat)$의 공동 분포가 $S_n(231)$에서 $(stat, maj)$와 등분포하는 것으로 암시된다.
• 이 이항사상은 Burstein 또는 Chen-Li의 이전 맵의 제한이 아니며, 등분포에 대한 구조적 접근에서 명백히 다른 방식임을 나타낸다.