[논문 리뷰] Equilibrium distributions and discrete Schur-constant models

Anna Castañer, M. Mercè Claramunt Bielsa|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 28.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 (n−1)번째 균형 분포가 존재하는 단변량 생존함수로부터 생성되는 다변량 이산 Schur-상수 모델의 새로운 클래스인 Schur-상수 균형분포 모델을 소개한다. 이 모델은 반복된 균형 분포를 사용하여 합의 구조를 가진 연합 생존함수를 정의하며, 주요 결과로는 포아송 분포를 따르는 성분의 경우 합이 여전히 포아송 분포를 따르며, 상관계수는 평균과 고차모멘트의 함수로 명시적으로 유도됨을 보여준다.

ABSTRACT

This paper introduces Schur-constant equilibrium distribution models of dimension n for arithmetic non-negative random variables. Such a model is defined through the (several orders) equilibrium distributions of a univariate survival function. First, the bivariate case is considered and analyzed in depth, stressing the main characteristics of the Poisson case. The analysis is then extended to the multivariate case. Several properties are derived, including the implicit correlation and the distribution of the sum.

연구 동기 및 목표

• 기존의 n-모노톤 조건을 완화하여 (n−1)번째 균형 분포의 존재만을 요구함으로써 Schur-상수 모델을 더 넓은 범위의 이산 생존함수로 확장하는 것.
• 이산 정적초과 연산자와 반복된 균형 분포를 기반으로 한 다변량 균형 모델을 개발하는 것.
• 모델의 연합 생존함수, 주변 분포 및 합 분포를 특성화하는 것.
• 기본 분포의 원시모멘트에 대한 함수로 피어슨 상관계수의 명시적 표현을 도출하는 것.
• 기본 분포가 포아송일 경우 성분의 합이 여전히 포아송 분포를 따르는지 보여주는 것.

제안 방법

• 기본 생존함수 S의 (n−1)번째 균형 분포를 통해 다변량 Schur-상수 균형 모델을 정의한다.
• 이산 정적초과 연산자를 사용하여 (n−1)번째 균형 분포를 생성함으로써 생존함수가 n-모노톤임을 보장한다.
• 생존함수의 (n−1)번째 전진차분을 사용하여 합 Z = X₁ + ⋯ + Xₙ의 확률질량함수를 유도한다.
• 합성적 부분합과 다항식 분해를 적용하여 균형 분포의 모멘트를 재귀적으로 표현한다.
• 재귀 공식 µᵢ:ⱼ = 1/μᵢ₋₁:₁ ∑ᵣ₌₁^{j+1} aᵣ(j+1) μᵢ₋₁:ᵣ 를 사용하여 고차모멘트를 계산한다.
• 피어슨 상관계수를 (n−1)번째 균형 분포의 평균과 분산에 대한 함수로 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변량 Schur-상수 균형 모델을 구성하기 위해 단변량 생존함수에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ2 합 Z = X₁ + ⋯ + Xₙ의 분포는 기본 생존함수 S와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 다변량 균형 모델에서 피어슨 상관계수의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ4 기본 성분 X가 포아송 분포를 따를 경우 합 Z는 여전히 포아송 분포를 따르는가?
• RQ5 균형 분포의 모멘트는 원래 분포의 원시모멘트와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• Schur-상수 다변량 균형 모델에서 합 Z = X₁ + ⋯ + Xₙ의 확률질량함수는 P(Z = z) = P(X = z + n − 1) / (μ · μ₁:₁ · ⋯ · μₙ₋₂:₁) × (z + n − 1 choose n − 1) 으로 주어진다.
• 기본 변수 X가 평균 λ인 포아송 분포를 따를 경우, 합 Z는 여전히 평균 λ인 포아송 분포를 따른다.
• 이변량 경우의 피어슨 상관계수는 ρ = −λ / (6 + λ) 이며, 일반적으로는 기본 분포의 평균과 고차모멘트에 의존한다.
• n = 3일 경우 상관계수는 ρ = 1/2 − (μ − E(X³))(2μ − 3E(X²) + E(X³)) / (2μ² + 2(E(X³))² + 3E(X²)(E(X²) − E(X⁴)) + μ(−3E(X²) − 4E(X³) + 3E(X⁴))) 로 주어진다.
• n = 4일 경우 상관계수는 ρ = 1/2 − 5(6μ − 11E(X²) + 6E(X³) − E(X⁴))(2μ − E(X²) − 2E(X³) + E(X⁴)) / (2(D − 4μJ)) 로 표현되며, D와 J는 E(X⁵)까지의 모멘트로 정의된다.
• 이 모델은 (n−1)번째 균형 분포의 존재만을 요구함으로써 기존의 Schur-상수 모델을 일반화한다.